Three-dimensional staggered grids for systems of hyperbolic conservation laws

  • Dreidimensionale versetzte Gitter fuer Systeme hyperbolischer Erhaltungssaetze

Rosenbaum, Wolfram; Noelle, Sebastian (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2007)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2007

Kurzfassung

Im Jahre 1990 stellten Nessyahu und Tadmor ein überraschend einfaches Riemann-Löser freies Finite Volumen Verfahren auf versetzten Gittern zur approximativen Lösung von Systemen von Erhaltungssätzen in einer Raumdimension vor. Dieses Verfahren stellt eine natürliche Erweiterung des Lax-Friedrichs Verfahrens von erster auf zweite Ordnung dar. Die höhere Approximationsordnung wird durch zwei zusätzliche Bausteine erreicht: a) Daten-Rekonstruktion zur stückweise linearen (statt konstanten) Darstellung der numerischen Lösung und b) Approximation aller in der Lösung auftretenden Integrale durch Quadraturformeln zweiter Ordnung. Angeregt duch diese grundlegende Arbeit trugen viele Autoren zur Erweiterung des Verfahrens auf zwei und sogar drei Raumdimensionen bei. Während die Struktur des Rechengitters in einer Raumdimension nur geringen Einfluss auf die Formulierung des numerischen Verfahren hat, wird die geometrische Beschreibung des Gitters in höheren Raumdimensionen wichtiger, insbesondere im Falle in Größe und Form veränderlicher Gitterzellen. In [1] wurde ein neues Konstruktionsprinzip für versetzte Gitter auf adaptiven kartesischen Gittern in zwei Raumdimensionen vorgeschlagen. Die kartesische Struktur des Gitters definiert lokale Muster, aus welchen schliesslich das versetzte Gitter zusammengesetzt wird. In der vorliegenden Arbeit wurde der Konstruktionsansatz über lokale Muster von zwei auf drei Raumdimensionen übertragen. Lokale Muster werden hierbei als spezielle Voronoi-Zerlegungen kartesischer Gitterzellen aufgefasst. Eine Voronoi-Zerlegung ist bestimmt durch die lokale Struktur des kartesischen Gitters. Mit Hilfe der Polya'schen Abzähltheorie wurde die Gesamtzahl von 227 kombinatorisch verschiedener lokaler Muster ermittelt. Dem zum kartesischen Gitter auf diese Weise konstruierten versetzten Gitter fehlt i.a. die kartesische Struktur. Die zur Implementierung des Nessyahu-Tadmor Verfahrens notwendige Daten-Rekonstruktion bedient sich aus diesem Grunde eines linearen Ausgleichsansatzes, der ursprünglich für unstrukturierte Gitter vorgeschlagen wurde. Standard-Quadraturformeln zur Integration von zweiter Ordnung wurden auf allgemeine Polygon- und Polyederformen erweitert. In Hinblick auf echte CFD-Anwendungen ist der vorgestellte Löser auf die Berücksichtigung komplexer Hindernisse im Rechengebiet ausgelegt. Abschließend wurde das dreidimensionale staggered grid Verfahren für skalare Testprobleme sowie Anwendungen aus der Strömungsmechanik (Euler-Gleichungen) eingesetzt. [1] W. Rosenbaum, Ein zweidimensionales adaptives staggered-grid Verfahren zur Lösung von Systemen hyperbolischer Differentialgleichungen. Universität Bonn, 1999.

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