Topological aspects of nonsmooth optimization

  • Topologische Aspekte der nichtglatten Optimierung

Shikhman, Vladimir; Jongen, Hubertus Th. (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2011)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2011

Kurzfassung

Man betrachtet folgendes allgemeines Optimierungsproblem: P(f,F): min f(x) s.t. x in M[F], wobei f und F glatte Funktionen sind und M[F] die durch F definierte zulässige Menge bezeichnet. Die Nichtglattheit wird dadurch gegeben, dass F die Menge M[F] auf eine strukturierte Weise festlegt. Es werden nämlich vier Problemtypen untersucht: (i) Optimierungsprobleme mit Komplementaritätsnebenbedingungen (mathematical programming programs with complementarity constraints), (ii) Allgemeine Semi-Innite Optimierungsprobleme (general semi-infinite optimization problems), (iii) Optimierungsprobleme mit verschwindenden Nebenbedingungen (mathematical programming programs with vanishing constraints), (iv) Zweistuge Optimierungsprobleme (bilevel optimization). Das Hauptziel ist es, die nichtglatten Strukturen im Optimierungskontext topologisch zu untersuchen. Der topologische Zugang beinhaltet folgende Fragestellungen: (a) Unter welchen Bedingungen ist M[F] eine Lipschitz-Mannigfaltigkeit der passenden Dimension? (b) Unter welchen Bedingungen ist M[F] stabil, d.h. M[F] bleibt invariant bis auf Homoeomorphismus im Bezug auf glatte Störungen von F? (c) Wie ändert sich die Topologie der unteren Niveaumengen M[f, F]^a bis auf Homotopieaequivalenz? Es wird gezeigt, dass die Fragestellungen (a) und (b) zu Constraint Qualifications führen. Über (c) gelangt man zur Stationarität und zur Kritische-Punkte-Theorie im Sinne von Morse. Man bekommt neue topologisch relevante Optimierungskonzepte in Termen von Ableitungen der definierenden Funktionen f und F. Es ist wichtig anzumerken: die selben Fragestellungen (a)-(c) liefern verschiedene analytische Optimieriungskonzepte, wenn angewandt auf einzelne Problemtypen (i)-(iv). Genau der Unterschied zwischen diesen analytisch beschriebenen Optimierungskonzepten ist ein Schlüssel, die verschiedenen Typen der Nichtglattheit zu vergleichen und theoretisch zu verstehen. Darüber hinaus werden die Auswirkungen von (a) und (b) auf die Theorie der nichtglatten Analysis dargestellt. Es werden topologisch reguläre Punkte für nichtglatte Abbildungen F vom Minimum-Typ eingeführt. Die ausschlaggebende Eigenschaft ist, dass für topologisch reguläre Werte y von F die Menge F^{-1}(y) eine n-l dimensionale Lipschitz-Mannigfaltigkeit ist. Hier ist die Anwendung nichtglatter Versionen des Satzes über implizite Funktionen von Bedeutung (von Clarke bzw. Kummer). Es wird herausgearbeitet, dass die Schwierigkeit deren Anwendung darin besteht, eine passende Aufspaltung des R^n zu finden. Dies führt zum besseren Verständnis der nichtglatten Geometrie und Topologie. Entsprechende nichtglatte Versionen des Satzes von Sard werden bewiesen.

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