Asymptotic preserving finite volume schemes for the singularly-perturbed shallow water equations with source terms

Zakerzadeh, Hamed; Noelle, Sebastian (Thesis advisor); Frank, Martin (Thesis advisor); Audusse, Emmanuel (Thesis advisor)

Aachen (2017, 2018)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Die Flachwassergleichungen sind für die Modellierung ozeanischer Strömungen als einfache Annäherung der Wasser Wellengleichungen von großer Bedeutung, die die von der Schwerkraft getriebenen freien Oberflächen Strömungen beschreiben, wenn die Flüssigkeit inkompressibel, homogen und reibungsfrei ist, und der Druck ist nur hydrostatisch, aufgrund der Oberflächenabnahme, d. h. die horizontale Längenskala ist viel größer als die vertikale. Für die Flachwassergleichungen charakterisiert die Froude-Zahl die Dominanz der advektiven Moden im Vergleich zu den (akustischen) Gravitationsmodell als das Verhältnis der Volumengeschwindigkeit zur Schwerewellen Geschwindigkeit. Für die großen ozeanischen Phänomene ist die Froude-Zahl oft klein; die Gravitationswellen sind also zu schnell, um zu der Massenbewegung beizutragen, d. h. sie beeinflussen nicht die Lösung des makroskopischen Großmodells. Für eine zeitlich explizite numerische Behandlung sollte man jedoch eine Methode entwickeln, um diese schnellen Wellen zu bewältigen, um hohe Rechenkosten zu vermeiden, da sie den Zeitschritt beschränken durch den Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) Zustand. Der in diesem Manuskript betrachtete Ansatz besteht darin, das System in langsame und schnelle Teile zu zerlegen und eine implizit-explizite (IMEX) Strategie zu verwenden, d. h. den schnellen Teil implizit und den langsamen Teil explizit zu behandeln. Zusätzlich zu dem Effizienzproblem, das mit diesem singulär gestörten System verbunden ist, sollte man vorsichtig sein mit dem Begrenzungsschema, d. h. wenn das Schema eine konsistente und stabile Annäherung des Null-Froude-Systems (See Gleichungen) liefert. Selbst wenn die Konvergenz zum Limit für das kontinuierliche Modell gezeigt werden kann, ist die Beibehaltung einer solchen Konvergenz für das diskrete (numerische) Modell zusammen mit Stabilität und Konsistenz keineswegs trivial und sollte sorgfältig analysiert werden. Dies motiviert die Annahme des Rahmens von Asymptotik-Erhaltende (AP) Verfahren eingeführt durch [Jin, SIAM J. Sci. Comp. 21 (2) (1999), S. 441-454], mit der Froude-Zahl als Skalierung-Singular-Parameter. AP-Verfahren sind als (See Gleichungen definiert, die eine solche Annäherung an die Grenze für das diskrete Modell imitieren, z. B. aufgrund einheitlicher Konsistenz und Stabilität. In diesem Manuskript betrachten wir zwei IMEX-Fluss-Splitting-Finite-Volumen-Schemata für die Flachwassergleichungen mit einheitlicher Konsistenz und Stabilität für die Froude-Zahl: das IMET-Verfahren Lagrange-projektion und das IMEX-Verfahren Referenzlösung. Das LP-IMEX-Verfahren ist ein Godunov-artiges Verfahren, das das System in das akustische und das Transportsystem zerlegt und eine Lagrange-Formulierung für das erstere verwendet. Leider ist es in einigen inhärenten Genauigkeit Problemen besonders in mehreren Dimensionen involviert, auf die geachtet werden muss; also untersuchen wir es nur für das eindimensionale System. Der Hauptfokus wurde auf dem RS-IMEX-Schema liegen, das die Lösung in die (asymptotische) Referenzlösung und eine Störung darum zerlegt, um das System zu teilen. Wir untersuchen das RS-IMEX-Verfahren in ein und zwei Raumdimensionen mit der unteren Topografie und schließlich mit der zusätzlichen Corioliskraft. Für beide Verfahren präsentieren wir eine (strenge) asymptotische Analyse begründen die einheitliche Konsistenz und Stabilität des Verfahren in Gedenken an der Froude-Zahl und bestätigen die AP-Eigenschaft. Wir testen auch die Qualität der durch das RS-IMEX-Verfahren berechneten Lösungen in mehreren numerischen Beispielen, insbesondere für das Low-Froude-Regime.

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