Entropy stable hermite approximations of the Boltzmann equation

Sarna, Neeraj; Torrilhon, Manuel (Thesis advisor); Cai, Zhenning (Thesis advisor)

Aachen (2019)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Der Zustand eines Gases wird für alle Strömungsregime genau durch die Boltzmann-Gleichung (BE) beschrieben, die die Entwicklung eines Phasendichtefunktionalen bestimmt. Gegenwärtig löst Direct Simulation Monte Carlo (DSMC) von allen verfügbaren numerischen Methoden das BE mit höchster Wiedergabetreue. Die DSMC-Methode ist jedoch für Flüsse mit niedriger Machzahl teuer, was die Suche nach anderen deterministischen Methoden zur Lösung des BE motiviert. Eine ansprechende deterministische Methode ist ein Galerkin-Ansatz, bei dem die BE-Lösung in einem endlichen dimensionalen Raum angenähert wird. Die vorliegende Arbeit widmet sich der Entwicklung einer solchen Galerkin-Methode, die auf Grads Expansion entlang des Geschwindigkeitsraums und einer kontinuierlichen Diskretisierung des Galerkin-Typs im physikalischen Raum basiert. Für Gasflüsse mit niedriger Machzahl linearisieren wir den BE um eine lokale Gleichgewichtsverteilungsfunktion. Um die Lösung an das linearisierte BE anzunähern, entwickeln wir eine Galerkin-Methode, die Folgendes bewahrt: (i) Masse-, Impuls- und Energieerhaltung, (ii) Galelsche Invarianz und (iii) Stabilität der L2-Tropie. In vielen früheren Arbeiten wurden Techniken zur Erhaltung der ersten beiden Eigenschaften erörtert, und bei Grads Erweiterung bleiben beide Eigenschaften aufgrund der Struktur der Hermite-Polynome erhalten. In der vorliegenden Arbeit konzentrieren wir uns neben der Beibehaltung der ersten beiden Eigenschaften hauptsächlich auf die Beibehaltung der L2-Stabilität sowohl für die Geschwindigkeits- als auch die physikalische Raumdiskretisierung. Die Lösung des linearisierten BE lebt auf einem siebendimensionalen Raum: einem dreidimensionalen Geschwindigkeitsraum, einem dreidimensionalen physikalischen Raum und einem eindimensionalen zeitlichen Raum. Um unsere Galerkin-Methode zu entwickeln, diskretisieren wir zunächst den Geschwindigkeitsraum durch Grads Hermite-Polynome und stellen fest, dass die L2-Stabilität einer solchen Diskretisierung ausschließlich vom Entropiefluss über Grenzen hinweg abhängt. Dies ermöglicht es uns, die Entropiestabilität durch eine ordnungsgemäße Gestaltung der Randbedingungen sicherzustellen. Wir legen diese Randbedingungen sowohl für Zu- / Abfluss- als auch für Vollwandgrenzen fest. Als nächstes statten wir unsere Geschwindigkeitsraumdiskretisierung mit einer entropiestabilen kontinuierlichen räumlichen Diskretisierung nach Galerkin aus. Da eine kontinuierliche Galerkin-Methode keine Diskontinuitäten über Zellgrenzen hinweg zulässt, bleibt der Entropiefluss über die Domänengrenze hinweg die einzige Quelle für das Entropiewachstum. Daher erfordert die Entropiestabilität der räumlichen Diskretisierung eine geeignete Grenzdiskretisierung. Wir verwenden eine schwache Randdiskretisierung, um Entropiestabilität zu erreichen, und stellen drei verschiedene Möglichkeiten vor. Wir vergleichen alle drei Ansätze durch numerische Experimente. Die Stabilität eines numerischen Schemas bietet nicht nur eine robuste numerische Implementierung, sondern ermöglicht auch eine Konvergenzanalyse von vornherein. Wir führen eine A-priori-Konvergenzanalyse für Grads Hermite-Erweiterung durch, bei der wir ihre Stabilität verwenden, um Fehlergrenzen zu entwickeln. Unter Regularitätsannahmen für die linearisierte BE-Lösung entwickeln wir explizite Konvergenzraten. Wir bestätigen die vorgestellten Konvergenzraten durch numerische Experimente mit verschiedenen Benchmark-Problemen. Das Lösen einer kinetischen Gleichung mit einer deterministischen Methode ist rechenintensiv. Dies motiviert zur Entwicklung einer deterministischen Methode, bei der sowohl der Geschwindigkeitsraum als auch die räumliche Diskretisierung so angepasst werden, dass Rechenressourcen nur dort zugewiesen werden, wo sie benötigt werden. Wir entwickeln eine solche deterministische Methode mit Hilfe von Momentannäherungen, bei der wir die Reihenfolge der Momentannäherung und die räumliche Gitterauflösung lokal ändern. Wir konzentrieren uns auf stationäre Probleme und verwenden eine zielorientierte adjunktbasierte a-posteriori-Fehlervorhersage. Mit Hilfe numerischer Experimente vergleichen wir das Konvergenzverhalten einer adaptiven und einer einheitlichen deterministischen Methode.

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