Parabolic induction for Hecke algebras

Schönnenbeck, Christoph; Hiß, Gerhard (Thesis advisor); Geck, Meinolf (Thesis advisor); Fourier, Ghislain Paul Thomas (Thesis advisor)

Aachen (2019)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Ist W_0 eine Untergruppe einer endlichen Gruppe W, so ist die Induktion von Darstellungen von W_0 zu solchen von W eines der fundamentalen Konzepte der Darstellungstheorie. In dem Fall, dass W eine Coxetergruppe ist, ist man insbesondere an sogenannten parabolischen Untergruppen von W interessiert. Diese sind selbst wiederum Coxetergruppen und die zugehörige Induktion wird dann als parabolische Induktion bezeichnet. In dieser Arbeit betrachten wir Verallgemeinerungen dieser Konstruktion. Wir untersuchen die Struktur parabolisch induzierter Moduln von endlichen Spiegelungsgruppen und ihrer Heckealgebren, genauer von Coxetergruppen, komplexen Spiegelungsgruppen, Iwahori-Hecke-Algebren und zyklotomischen Heckealgebren. Zu Beginn der Arbeit wiederholen wir allgemeine Konzepte und Ergebnisse der Darstellungstheorie von Algebren und stellen die Gruppen und Algebren vor, mit denen wir uns im weiteren Verlauf auseinandersetzen werden. Anschließend zeigen wir für nahezu alle Klassen dieser Spiegelungsgruppen und Heckealgebren, dass ihre parabolische Induktion von echten parabolischen Untergruppen bzw. -algebren stets reduzible Moduln liefert. Im Folgenden betrachten wir parabolische Induktion von Ariki-Koike-Algebren, einer Unterklasse der zyklotomischen Heckealgebren. Aufgrund eines als Kategorifizierung bekannten Phänomens können wir in diesem Kontext unter bestimmten Voraussetzungen auf kombinatorische Argumente in Form sogenannter Crystal Graphs zurückgreifen. Wir erklären die Kombinatorik von Multipartitionen und der Crystal Graphs und nutzen dies, um eine untere Schrank für die Anzahl der irreduziblen Konstituenten parabolisch induzierter Moduln von Ariki-Koike-Algebren zu beweisen. Ebenso geben wir eine analoge Schranke in den Fällen, in denen keine Kategorifizierungsresultate vorliegen. Wir nutzen diese Ergebnisse, um parabolische Induktion von rationalen zyklotomischen Cherednikalgebren zu untersuchen, welche eng mit Ariki-Koike-Algebren verwandt sind. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir den Zusammenhang zwischen Induktion und Spezialisierung, d.h. der Veränderung des zugrundeliegenden Rings einer Algebra, zunächst im Allgemeinen, und dann im Kontext parabolischer Induktion von Heckealgebren. Wir zeigen, wie man diesen Zusammenhang nutzen kann, um z.B. die Komponenten parabolisch induzierter Moduln von Iwahori-Hecke-Algebren mit Mitteln der gewöhnlichen Darstellungstheorie von Gruppen und sogenannten Zerlegungs-zahlen berechnen kann. Außerdem untersuchen wir, wie man parabolische Induktion mit Hilfe von Spezialisierung und Cliffordtheorie untersuchen kann. Im letzten Teil der Arbeit beschreiben wir schließlich unsere Berechnung von Zerlegungszahlen von exzeptionellen Iwahori-Hecke-Algebren in sogenannter schlechter Charakteristik.