A class of gradient flows of differential forms in negative homogeneous Sobolev spaces

  • Eine Klasse von Gradientenflüssen von Differentialformen in negativen homogenen Sobolevräumen

Doemeland, Marco; Melcher, Christof (Thesis advisor); Westdickenberg, Michael (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

In dieser Arbeit interessieren wir uns für das Lösung einer Klasse von quasilinear parabolischen partiellen Differentialgleichungen für geschlossene Differentialformen, die eine spezielle Struktur aufweisen, nämlich eine Gradientenflussstruktur, und somit zwei Hauptbereiche der mathematischen Analysis, die geometrische Theorie der Differentialformen und die Theorie der Gradientenflüsse, zusammenzubringen. Genauer gesagt betrachten wir für ein beschränktes Gebiet $ \Omega \subset \mathbb{R}^n $, $ n \ge 2 $, mit glattem Rand und für eine zeitabhängige $ k $-Form $ \omega (t) \colon \Omega \rightarrow \Lambda ^k ( \mathbb{R}^n ) $ die Gradientenflussgleichung $\partial _t \omega \,=\, -\mathop{}\!\mathrm{d} \Big( \nabla c^ \ast \Big[ \mathop{}\!\mathrm{d}^{\ast} \big( \nabla _ \xi F( \, \cdot \, , \omega )\big) \Big] \Big) $ und $ \mathop{}\!\mathrm{d} \omega \,=\, 0 $. Dabei ist das sogenannte Dissipationspotential $ c \colon \Lambda ^ {k-1}( \mathbb{R}^n ) \rightarrow [0, \infty )$ eine konvexe Funktion mit der Legendre-Fenchel-Transformierten $ c^ \ast $, während $ \nabla _ \xi F $ die Ableitung der Energiedichte $ F \colon \Omega \times \Lambda ^k( \mathbb{R}^n ) \rightarrow \mathbb{R} $ bezüglich ihres zweiten Arguments bezeichnet. Diese Klasse von Differentialgleichungen wurde von Yann Brenier im Jahr 2014 als ein allgemeiner Rahmen für dissipative Gleichungen vorgeschlagen und enthält zum Beispiel die $ p $-Hodge-Laplace-Wärmeleitungsgleichung für geschlossene Differentialformen $ \partial _t \omega = - \mathop{}\!\mathrm{d} ( | \mathop{}\!\mathrm{d}^{\ast} \omega | ^ {p-2} \, \mathop{}\!\mathrm{d}^{\ast} \omega ) $. Das Finden schwacher Lösungen der Gradientenflussgleichung ist nicht nur wegen ihrer Nichtlinearität eine anspruchsvolle Herausforderung, sondern auch wegen ihres vektoriellen Charakters, d.h. es handelt sich um ein System von skalaren Differentialgleichungen. Die Gradientenflussstruktur erscheint in Form einer sogenannten Energy Dissipation Inequality (EDI). Auch wenn diese nur auf formaler Ebene äquivalent zur Gradientenflussgleichung ist, spielt sie dennoch eine entscheidende Rolle im Beweis der Existenz von schwachen Lösungen der Differentialgleichung. Um die Existenz von Lösungen der EDI zu beweisen, nutzen wir ein sogenanntes minimizing movement scheme. Dies ist ein zeit-diskretes Approximationsschema, bei dem jeder Zeitschritt aus dem Lösen eines Variationsproblems besteht. Das Variationsproblem beinhaltet die Störung des Energiefunktionals mit dem sogenannten sogenannten Dissipationsfunktional, welches mit Hilfe des Dissipationspotentials $ c $ definiert ist. Dieses Dissipationsfunktional ist eng verwandt mit den Normen der Dualräume von homogenen Sobolev-Räumen für Differentialformen, d.h. von negativen homogenen Sobolev-Räumen, welche hier eingeführt werden. Daher beschreiben diese Räume den natürlichen funktionalanalytischen Rahmen für die in dieser Arbeit behandelten Probleme. Soweit uns bekannt ist, ist dieses Konzept der negativen homogenen Sobolev-Räume für Differentialformen neu. Im Grenzübergang, in dem der Zeitdiskretisierungsparameter, der zur Definition des gestörten Energiefunktionals verwendet wurde, gegen Null geht, konvergiert das Approximationsschema schwach zu einem Grenzwert. Da die EDI bezüglich der schwachen Konvergenz geeignete Unterhalbstetigkeitseigenschaften aufweist, ist der Grenzwert in der Tat eine Lösung der EDI. Bei dem Grenzübergang profitieren wir außerdem auch von Methoden aus der Theorie der kompensierten Kompaktheit wie beispielsweise der Sobolev-Poincaré-Ungleichung in Kombination mit einem Minty-Browder-artigen Argument. Mit etwas zusätzlichem Aufwand können wir auch eine umgekehrte EDI für den Grenzwert beweisen. Als Hauptresultat der Arbeit schließen wir daraus die Existenz einer schwachen Lösung der Gradientenflussgleichung. Im zweiten Teil der Arbeit befassen wir uns mit zusätzlichen Eigenschaften der schwachen Lösungen der Gradientenflussgleichung wie der Eindeutigkeit, einer Halbgruppeneigenschaft der Zeitentwicklung, einer Exponentialformel sowie Fehlerabschätzungen. Dies sind sehr komplizierte Problemstellungen. Da das Konzept der EDI zur Beantwortung dieser Fragen zu schwach ist, verwenden wir stattdessen das stärkere Konzept der Evolution Variational Inequality (EVI). Dieses ist ebenso formal äquivalent zur Gradientenflussgleichung. Allerdings ist dieses Konzept nur in dem Fall $ c( \xi ) = \frac{1}{2}| \xi | ^2 $, in dem das Dissipationsfunktional bis auf ein skalares Vielfaches mit der negativen homogenen Sobolev-Norm für den Fall von Hilbert-Räumen übereinstimmt, verfügbar. Als Hauptresultat des zweiten Teils beweisen wir die Eindeutigkeit der zuvor gefundenen Lösung in einer Klasse von zulässigen Lösungen der EVI, eine Kontraktions- und eine Halbgruppeneigenschaft der Zeitentwicklung sowie eine Exponentialformel zusammen mit einer Fehlerabschätzung. Der Beweis der Exponentialformel und der Fehlerabschätzung wird mittels zweier verschiedener Ansätze geführt.

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