Solutions for fourth order parabolic equation modeling epitaxial thin film growth

  • Schwache Lösung der nichtlinearen parabolischen Differentialgleichung vierter Ordnung, welche das epitaxiale Dünnfilmwachstum beschreibt

Sandjo, Albert N.; Wiegner, Michael (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2011, 2012)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2011

Kurzfassung

In dieser Dissertation wird ein kontinuierliches Modell analysiert, welches das epitaxiale Dünnfilmwachstum beschreibt. Auf einem beschränkten Gebiet wird das Wachstum des Dünnfilms physikalisch durch folgende nichtlineare parabolische Differentialgleichung vierter Ordnung modelliert. Bisherige Resultate über parabolische Differentialgleichungen höherer Ordnung, insbesondere vierter Ordnung, beziehen sich auf unbeschränktes Gebiet und sind daher für praktische Anwendungen (epitaxiale Dünnfilmwachstum, Bildverarbeitung, Cahn-Hilliard Gleichung) wenig geeignet. Nur wenige Arbeiten beschäftigen sich mit dem realistischen Fall eines beschränkten Gebietes. Eingeleitet durch die Arbeit von T. Kato wurde das Interesse im letzten Jahrzehnt auf milde Lösungen für Differentialgleichungen höherer Ordnung gelenkt. Alle bekannten Ergebnisse beruhen auf Varianten von Katos Methode mit welcher globale Lösungen mittels einer Fixpunktiteration konstruiert werden. In dieser Arbeit werden zwei Fälle betrachtet, die sich durch unterschiedliche Annahmenan die Funktion f auszeichnen. Im ersten Fall werden unter Verwendung einer Interpolations-Extrapolations-Methode die Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der Lösung bewiesen. Im zweiten Fall wird eine Integralform der Differentialgleichung betrachtet und mittles sukzessiver Approximation sowie Lp-Lq-Abschäatzungen von analytischen Halbgruppen die Existenz von Lösungen gezeigt. Die Beweisidee basiert auf einer Arbeit von Wiegner, der die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Navier-Stokes-Gleichungen) schon mit Lp-Lq-Abschätzugen zeigt. Im vorliegenden Fall (vierter Ordnung) wird zusätzlich eine Lp-Lq-Abschätzung der zweiten Ableitung von $exp(-tDelta^2)$ gezeigt, welche für die Fixpunktiteration notwendig ist. Mein Ergebnis gibt auch eine Aussage über die Mindest-Existenzdauer der Lösung in Abhängigkeit von einer geeigneten Norm des Anfangswerts. Schließlich geben wir eine vereinheitlichte Methode zur Konstruktion lokaler and globaler Lösungen einer Klasse von nichtlinearen parabolischen Differentialgleichungen.

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