Statistical modeling of non-metallic inclusions in steels and extreme value analysis

• Statistische Modellierung von nichtmetallischen Einschlüssen in Stählen und Extremwertanalyse

Schmiedt, Anja Bettina; Kamps, Udo (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2012, 2013)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Kurzfassung

Diese Dissertation ist motiviert durch das metallurgische Problem nichtmetallischer Einschlüsse, die unvermeidbar in Stahlherstellungsprozessen entstehen und als ein Hauptgrund für Materialschäden gelten, wobei die Einschlussgröße der kritische Parameter ist. Daher besteht Interesse an der Anpassung eines geeigneten statistischen Modells an nichtmetallische Einschlussgrößen sowie an der Prognose extremer Einschlussgrößen zu Zwecken der Qualitätssicherung. Um Daten für statistische Analysen zu gewinnen, werden in der Metallographie planare Schliffe verwendet: Auf polierten Flächen werden mehrere Kontrollflächen gleicher Größe mikroskopisch auf geschnittene Einschlüsse untersucht. Dabei werden alle Einschlussschnitte oberhalb einer unteren Nachweisgrenze vermessen und deren Größe (typischerweise in Form der Quadratwurzel ihrer Fläche) gespeichert. Ein entsprechender realer Datensatz wurde vom Institut für Eisenhüttenkunde der RWTH Aachen zur Verfügung gestellt. In der Metallographie wurde bisher die Annahme getroffen, dass die geordneten Einschlussgrößen einer Kontrollfläche als Realisationen gewöhnlicher Ordnungsstatistiken (gOS) verstanden werden können, und es wurden maximale Einschlussgrößen durch die Anwendung klassischer Extremwertstatistik prognostiziert. Eingang in Handlungsanweisungen hat die "Control Area Maxima"-Methode gefunden: Die maximalen Einschlussgrößen der Kontrollflächen werden an eine Gumbel-Verteilung angepasst, die als geeignete Extremwertverteilung verstanden wird, und Schätzungen derer Quantile dienen als Prognosen für Einschlussgrößen. Aus statistischer Sicht ist es sinnvoll, dass mehr als nur die maximalen Einschlussgrößen in die Extremwertanalyse eingehen. Ein Hauptkapitel dieser Dissertation ist daher der multivariaten Extremwerttheorie für gOS gewidmet. Sie erlaubt eine Schätzung der Verteilungsparameter der verallgemeinerten Extremwertverteilung auf Basis der r > 1 größten Beobachtungen einer jeden Kontrollfläche, anstatt lediglich maximale Einschlussgrößen zuzulassen. Eine Simulationsstudie zeigt, dass die wahre Extremwertverteilung oftmals fehlspezifiziert wird, wenn die Schätzung ihrer Verteilungsparameter einzig auf den maximalen Beobachtungen beruht; erfolgt die Anpassung hingegen auf Basis der jeweils r > 1 größten Beobachtungen für hinreichend großes r, wird die statistische Analyse wesentlich verbessert. Die Ergebnisse der Simulationsstudie werden durch die multivariate Extremwertanalyse des realen Datensatzes nichtmetallischer Einschlussgrößen verdeutlicht. Die Anwendung der klassischen (multivariaten) Extremwerttheorie beruht auf der Annahme, dass die geordneten Einschlussgrößen einer Kontrollfläche Realisationen von gOS sind. In dem untersuchten Datensatz treten große Einschlüsse jedoch erheblich seltener auf als kleine: Werden die Einschlussgrößen einer Kontrollfläche aufsteigend sortiert, so ist i. A. zu beobachten, dass der Abstand benachbarter Einschlussgrößen mit der Einschlussgröße wächst. Daher wäre es möglich, dass gOS nicht immer zur Modellierung von Einschlussgrößen geeignet sind. In dieser Dissertation wird daher ein flexibles Modell geordneter Zufallsvariablen diskutiert, das "Generalized Model of Ordered Inclusion Sizes", wobei gewisse Modellparameter eine Anpassung der Hazardrate an die Anzahl beobachteter kleinerer Einschlussgrößen ermöglichen. Unter der Annahme von unbekannten Modellparametern werden Verfahren der statistischen Inferenz behandelt und auf den realen Datensatz angewendet. Die Durchführung bestimmter Hypothesentests lässt darauf schließen, dass gOS nicht immer zur Modellierung von Einschlussgrößen geeignet sind. Da die Anzahl unbekannter Modellparameter relativ hoch sein kann, wird ferner deren Reduktion durch die Annahme eines funktionalen Zusammenhangs diskutiert, wobei sich eine log-lineare Link-Funktion als adäquat erweist. Zudem stimmt das "Generalized Model of Ordered Inclusion Sizes" verteilungstheoretisch mit dem Modell verallgemeinerter Ordnungsstatistiken (vOS) überein. Die eingeführte log-lineare Link-Funktion erweist sich schließlich als zweckdienlich, um nicht-degenerierte Grenzverteilungen für extreme vOS zu identifizieren. Im Sinne einer Extrapolation dienen wiederum Schätzungen der Quantile einer geeigneten Grenzverteilung als Prognosen für Einschlussgrößen. Letztlich wird die Extremwerttheorie für vOS weiterentwickelt. In einer Habilitationsschrift (Cramer 2003, Universität Oldenburg) wurden nicht-degenerierte Grenzverteilungen für extreme vOS hergeleitet. In dieser Dissertation werden die Anziehungsbereiche solcher nicht-degenerierten Grenzverteilungen untersucht: Diverse Bedingungen an die den vOS zugrunde liegende Verteilungsfunktion werden aufgestellt, die notwendig und/oder hinreichend für die schwache Konvergenz extremer vOS gegen eine nicht-degenerierte Grenzverteilung sind. Dabei wird gezeigt, dass viele Verteilungsfunktionen im Anziehungsbereich einer Normalverteilung liegen.