On a Space-Time Extended Finite Element Method for the Solution of a Class of Two-Phase Mass Transport Problems

• Über eine Raum-Zeit erweiterte Finite-Elemente-Methode für die Lösung einer Klasse von zweiphasigen Stofftransportproblemen

Lehrenfeld, Christoph; Reusken, Arnold (Thesis advisor); Behr, Marek (Thesis advisor); Schöberl, Joachim (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2015)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit wird eine neue numerische Methode für die Simulation von Stofftransportprozessen in inkompressiblen unvermischbaren Zweiphasen-Strömungen vorgestellt. Das mathematische Modell für den Stofftransport besteht hierbei aus Konvektions-Diffusions-Gleichungen auf sich bewegenden Gebieten, welche durch Übergangsbedingungen an der Phasengrenze miteinander gekoppelt sind. Eine dieser Bedindungen, die Henry-Bedingung, schreibt eine Sprung-Unstetigkeit der Lösung über die Phasengrenze vor. Zur Beschreibung der Phasengrenze und ihrer Entwicklung in der Zeit werden so genannte "interface capturing" Methoden betrachtet, zum Beispiel die Levelset-Methode. Bei diesen Methoden ist das Rechengitter nicht an die sich bewegende Phasengrenzeangepasst, sodass die Phasengrenze einzelne Elemente schneidet. Unstetigkeiten bewegen sich also innerhalb einzelner Elemente, was die numerische Behandlung anspruchsvoll macht. Die in dieser Arbeit vorgestellte Methode basiert auf drei Kernkomponenten. Die erste Komponente ist ein erweiterter Finite-Elemente-Raum (XFEM). Dieser ermöglicht es Unstetigkeiten genau darzustellen ohne auf Gitter angewiesen zu sein, welche an die Phasengrenze angepasst sind. Die hierfür verwendete Anreicherung berücksichtigt jedoch nicht die Sprung-Bedingung an der Phasengrenze. Die zweite Komponente der Methode, eine Variante der Nitsche-Methode, löst dieses Problem. Die Bedingung an der Phasengrenze wird hierbei im Rahmen der diskreten Variationsformulierung der Finite-Elemente-Methode in einem schwachen Sinn gefordert. Für eine stationäre Phasengrenze bietet die Kombination beider Techniken eine gute Herangehensweise, um eine zuverlässige Methode zur Simulation des Stofftransports in Zweiphasenströmungen zu erhalten. Der schwierigste Aspekt an dem betrachteten Problem ist jedoch die Tatsache, dass die Phasengrenze in der Regel nicht stationär ist, sondern sich mit der Zeit bewegt. Die numerische Behandlung von sich bewegenden Unstetigkeiten erfordert besondere Sorgfalt. Zu diesem Zweck wird eine Variationsformulierung in Raum-Zeit eingeführt, welche die dritte Kernkomponente unserer Methode darstellt. Die Kombination mit den ersten beiden Komponenten führt zu einer robusten Methode mit hoher Genauigkeit. Für den Fall einer stationären Phasengrenze wurde die Kombination aus XFEM-Anreicherung und Nitsche-Methode, die Nitsche-XFEM-Methode, bereits von anderen Autoren eingeführt. Diese Methode ist jedoch nicht stabil im konvektions-dominierten Fall. Um auch im Fall dominierender Konvektion eine stabile Methode zu erhalten, wird die Nitsche-XFEM-Methode mit der Streamline-Diffusion-Technik kombiniert. Darüberhinaus wird die Kondition linearer Gleichungssysteme diskutiert, die aus Diskretisierungen mit der Nitsche-XFEM-Methode entstehen und extrem schlecht konditioniert sein können.Für den Fall einer sich bewegenden Phasengrenze wird eine Galerkin-Formulierung in Raum-Zeit eingeführt, bei der Ansatz- und Testfunktionen verwendet werden, die unstetig in der Zeit sind. Diese Formulierung wird mit einer XFEM-Anreicherung und der Nitsche-Methode kombiniert und resultiert in der Space-Time-DG-Nitsche-XFEM-Methode. Die Methode wird mitsamt einer zugehörigen Fehleranalyse vorgestellt und Implementierungsaspekte werden diskutiert.Die behandelten Methoden wurden in dem Softwarepaket DROPS für den dreidimensionalen Fall implementiert. Die Korrektheit der Implementierung und die Genauigkeit des Verfahrens wird anhand von Testproblemen analysiert. Abschließend wird die gekoppelte Simulation des Stofftransports und der Fluiddynamik für ein realistisches Szenariobetrachtet.