Numerical methods for Boltzmann transport equations in radiotherapy treatment planning

• Numerische Verfahren zum Lösen von Boltzmann-Transportgleichungen in der Strahlentherapie-Planung

Jörres, Christian; Herty, Michael (Thesis advisor); Frank, Martin (Thesis advisor); Pareschi, Lorenzo (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2015)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Kurzfassung

Ein sehr wichtiger Bestandteil in der Strahlentherapie ist die Optimierung der zu erwartenden Dosis. Computerunterstützte Stahlungsbehandlung und diagnostische Bildgebung entwickeln sich ständig weiter und erfordern die Entwicklung von innovativen Algorithmen, um die technischen Fortschritte ausnutzen zu können. Wir geben einen Überblick über deterministische Boltzmann-Transportgleichungen, die seit neuestem für die Berechnung der Dosis in Betracht gezogen werden. Darüber hinaus stellen wir Optimal-Steuerungsprobleme mit Transportgleichungs-Nebenbedingungen vor, welche physikalisch motivierte Zielfunktionale minimieren, um optimale Bestrahlungspläne zu generieren. Wir zeigen, dass für ein Optimal-Randsteuerungsproblem mit Fokker-Planck-Gleichungsnebenbedingung der Ansatz "first discretize then optimize" äquivalent zu "first optimize then discretize" ist. Dazu diskretisieren wir die Fokker-Planck-Gleichung mittels PN-Approximation und Mark-Randbedingungen. Weiterhin analysieren wir das asymptotische Verhalten eines Optimal-Steuerungsproblems mit einer relaxierten Boltzmann-Gleichung als Nebenbedingung. Wir zeigen, dass das Optimal-Steuerungsproblem "asymptotic-preserving" ist, wenn die relaxierte Boltzmann-Gleichung mit einem "globally stiffly accurate" implizit-explizitem Runge-Kutta-Verfahren von Typ A oder ARS diskretisiert wird. Numerische Tests und eine Ordnungsanalyse belegen die theoretischen Ergebnisse. Als letztes präsentieren wir einen neuen Ansatz, ein Optimal-Steuerungsproblem unter Strahlungstransport-Gleichungsnebenbedingung zu diskretisieren. Die Reduced-Velocity-Methode wird exemplarisch am Beispiel der eingeschwungenen Boltzmann-Gleichung vorgestellt. Die Richtungskomponente wird als Parameter aufgefasst und die Boltzmann-Gleichung wird auf der Basis einer kleinen, endlich dimensionalen Menge von Richtungen diskretisert. Der entscheidende Punkt besteht in der Auswahl der Richtungen mittels eines Greedy-Algorithmus, der das Optimal-Steuerungsproblem berücksichtigt. So wird die optimale kontinuierliche Steuerung durch eine auf einer kleinen Menge an Richtungen basierenden Diskretisierung hinreichend genau approximiert.

Einrichtungen

• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik [114620]
• Lehrstuhl für Angewandte und Computergestützte Mathematik [115010]
• Fachgruppe Mathematik [110000]