Algorithmic aspects of algebraic system theory

• Algorithmische Aspekte der algebraischen Systemtheorie

Schindelar, Kristina; Zerz, Eva (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2010)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2010

Kurzfassung

Die Wurzeln der mathematische System- und Kontrolltheorie liegen in der Publikation On Governors von J.C. Maxwell, welche 1868 in Proceedings of the Royal Society of London erschien. Die bahnbrechenden Beiträge von R.E. Kalman etablierten die Systemtheorie als eigene mathematische Disziplin um 1950. Der 1990 erschienene Beitrag von U. Oberst liefert einen fundamentalen Einblick in die algebraische Systemtheorie. In diesem wird eine wichtige algebraische Eigenschaft des Signalraumes als äußerst fruchtbar für die Systemtheorie erkannt, nämlich die Eigenschaft des Signalraumes ein injektiver Kogenerator bezüglich des zugrunde liegenden Operatorringes zu sein. Das Ziel der algebraischen Systemtheorie ist strukturelle Analyse dynamischer Systeme mit Hilfe von algebraischen Methoden. Die zugrundeliegenden Systeme besitzen ihren Ursprung in verschiedenen praktischen Problemen wie beispielsweise den Naturwissenschaften, technischen oder ökonomischen Bereichen. Klassischerweise werden lineare, zeitinvariante Systeme mit Koeffizienten über einem Körper untersucht. Seit jüngster Vergangenheit rückten Variationen dieser Systeme in das Interesse. Aus Sicht der Anwendungen sind entsprechende Erweiterungen offensichtlich interessant. Neben theoretischen Untersuchungen bietet die Computer Algebra einen enormen Gewinn durch konstruktive Untersuchungen. In dieser Arbeit werden sowohl theoretische als auch algorithmische bzw. konstruktive Aspekte betrachtet. Sie ist wie folgt aufgebaut. Kapitel 1 und Kapitel 2 geben eine erweiterte Einführung. Grundlegende Konzepte und Definitionen werden vorgestellt. Zudem werden die folgenden Kapitel aus systemtheoretischer Sicht motiviert. Kapitel 3 behandelt, konträr zum klassischen Fall, Systeme mit Koeffizienten eines Ringes. Im Allgemeinen gründet das Interesse für solche Systeme in der Informationstheorie. Die erforderlichen Anpassungen auf den Ring Fall führen zu Problemen wie Nullteilern und dem Verlust einer Hauptideal Struktur. Deswegen können Konzepte der Codierungstheorie nicht ohne zusätzliche Theorie verallgemeinert werden. Im Körper Fall ist die sogenannte predictable degree property sehr nützlich für verschiedenen Bereiche der Systemtheorie, von Regler Parametrisierung bis zu minimalen Zustandsraum Darstellungen von linearen Systemen. Diese Eigenschaft kann nicht auf direktem Wege an den Ring Fall angepasst werden. Die Veröffentlichung The predictable degree property and row reducedness for systems over a finite ring von M. Kuijper, R. Pinto, J. W. Polderman und P. Rocha bietet neue Rahmenbedingungen welche die Anpassung vom klassischen zum neuen Fall erlauben. Mit Hilfe von Gröbnerbasen konnten diese Ergebnisse zu einem allgemeineren Rahmen erweitert werden, welcher zusätzlich konkrete Berechnungen erlaubt. Der Begriff der sogenannten Gröbner p-Basis wird zu diesem Zwecke eingeführt und der Zusammenhang zu den bekannten Resultaten erläutert. Kapital 4 widmet sich eindimensionalen, zeitinvarianten Systemen mit rationalen Koeffizienten. Dies führt zu der nichtkommutativen Operator Namens rationale Weyl Algebra, welche eine Hauptidealstruktur trägt. Deswegen existiert hier das nichtkommutative Analogon der Smith Form, die sogenannte Jacobson Form. Hit Hilfe dieser Normalform kann ein lineares System in ein steuerbares und autonomes Teilsystem entkoppelt werden. Desweiteren erhält man auf direktem Wege die Ordnung des zugrundeliegenden Differentialgleichungssystems. Allerdings erweist sich auf Grund der nichtkommutativen Gestalt das Problem des Koeffizientenwachstums, welches schon von dem kommutativen Gegenstück bekannt ist, als wesentlich stärker ausgeprägt. In diesem Kapitel wird ein komplett bruchfreier Ansatz zur Berechnung vorgestellt. Die entsprechende Implementierung ist in Form einer Software Bibliothek namens jacobson.lib für das Computer Algebra System Singular::Plural realisiert. Im Rahmen des behavioral approach wird ein Konzept zur linearen exakten Modellierung für eindimensionale Systeme mit konstanten Koeffizienten eingeführt. In Kapitel 5 wird dieser Modellierungsansatz für polynomielle-exponentielle Signale in mehrdimensionalen zeitvarianten Modelklassen entwickelt. Diese Modelklassen sind in den sogenannten Ore Algebren zusammengefasst. Die wesentliche Idee des Ansatzes ist die Entwicklung eines Modells, welches die beobachteten Signale enthält und dabei den größtmöglichen Informationsgehalt hat. Die resultierende Beschreibung erweist sich als äußerst präzise, wie auch im Falle der kontinuierlichen Systeme genauer beschrieben wird. Es werden zwei mögliche Methoden zur Berechnungen dieser Modelle vorgestellt. Eine Methode kann in einem kommutativen Rahmen durchgeführt werden.