Über die Elementarteiler der Inzidenzmatrix des Ree-Unitals

• On the elementary divisors of the incidence matrix of the Ree unital

Ringe, Christian; Hiß, Gerhard (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2008)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008

Kurzfassung

Das Ree-Unital ist ein gewisses 2-Design, welches die Ree-Gruppe G:=R(q) zum Parameter q (wobei q eine Potenz von 3 mit ungeradem Exponenten ist) als Gruppe von Design-Automorphismen besitzt. Wir untersuchen die Elementarteiler der Inzidenzmatrix des Ree-Unitals. Die genannten Elementarteiler codieren die Struktur einer endlichen abelschen Gruppe. Um diese Gruppe strukturell zu bestimmen, wenden wir Methoden der Modultheorie und der modularen Darstellungstheorie an. Eine vollständige Bestimmung der Struktur dieser abelschen Gruppe gelingt im Allgemeinen nicht. Jedoch können wir die Anzahl der möglichen 2-Komponenten dieser Gruppe auf drei reduzieren. In einigen Fällen gelingt eine vollständige Bestimmung der Komponenten ungerader Ordnung. Ein weiterer Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit einem Funktionenkörper F über Fq (wobei Fq der endliche Körper mit q Elementen ist), welcher die Ree-Gruppe G als volle Fq-Automorphismengruppe besitzt. Es gelingt der Nachweis, dass die Fq-rationalen Stellen von F mit den Punkten des Ree-Unitals identifizierbar sind, und dass die Menge der Fq-rationalen Stellen zusammen mit der Operation von G ein Modell des Ree-Unitals bildet. Wir untersuchen die zu F gehörende Gruppe D0 von Divisorenklassen vom Grad 0 und einige ihrer mit dem Ree-Unital zusammenhängenden Untergruppen. Dabei wenden wir ebenfalls Methoden aus der modularen Darstellungstheorie an. Eine vollständige Bestimmung der Struktur von D0 misslingt. Jedoch können wir in einigen Fällen die Komponenten ungerader Ordnung von D0 vollständig bestimmen. Im Fall des kleinsten Ree-Unitals, d.h. im Fall q=3, können wir alle diese Fragen vollständig beantworten. Dazu verwenden wir auch die Ergebnisse maschineller Rechnungen. Im letzten Kapitel dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit gewissen 3-Designs, den Möbius-Ebenen. Wir wenden einige der Methoden aus vorangegangenen Kapiteln dieser Arbeit auf diese Situation an. In den betrachteten Fällen gelingt eine vollständige Bestimmung der Elementarteiler der jeweiligen Inzidenzmatrix.