Algorithmic analysis of presentations of groups and modules

• Algorithmische Analyse von Präsentationen von Gruppen und Moduln

Fabianska, Anna Wiktoria; Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2009)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2009

Kurzfassung

In dieser Arbeit wird der Janet-Algorithmus zur Behandlung von Polynomsystemen zur Lösung zweier algebraischer Probleme angewandt:1. der expliziten Konstruktion einer Basis eines freien Modules über Polynomringen im Sinne des Satzes von Quillen und Suslin,2. der Bestimmung aller endlichen L_2-Faktorgruppen endlich präsentierten Gruppen.Der Schwerpunkt der Arbeit liegt in den konstruktiven Aspekten aller betrachteter Probleme und in der Entwicklung von entsprechenden Methoden und Algorithmen. Zusätzlich zur Theorie werden zwei die Arbeit begleitende Maple-Pakete, QuillenSuslin und PSL, vorgestellt. Das erste Kapitel behandelt algorithmische Berechnungsmethoden für polynomiale Systeme mit ganzen Koeffizienten. Zum Beispiel wird hier für ein gegebenes Ideal des Polynomringes über Z die Konstruktion eines es umfassenden maximalen Ideals sowie die Konstruktion aller minimalen assozierten Primidealen vorgestellt. Das zweite Kapitel ist dem Satz von Quillen und Suslin gewidmet. Ein algorithmischer Beweis dieses Satzes wird gegeben. Insbesondere ein Algorithmus zur Berechnung einer Basis eines freien Moduls über dem Polynomring mit Koeffizienten in einem Hauptidealbereich wird vorgestellt. Das Problem wird in der Sprache der unimodularen Matrizen ausgedrückt: Die Bestimmung einer Basis eines freien Moduls kann als Ergänzung einer unimodularen Matrix zur einer quadratischen invertierbaren Matrix formuliert werden. Der allgemeine induktive Algorithmus wurde mit neuen heuristischen Methoden ausgestattet, die es ermöglichen, den längeren induktiven Weg in vielen Fällen zu umgehen bzw. zu verkürzen. Die vorgestellten Methoden wurden in dem Maple-Paket QuillenSuslin implementiert. Zum Schluss werden einige Anwendungen des Satzes von Quillen und Suslin (präziser, der Möglichkeit eine konstruktive Basisbestimmung für einen freien Modul durchzuführen) in der Systemtheorie sowie in der algebraischen Geometrie präsentiert. Eine sehr große Sammlung von Beispielen, die die Anwendung des QuillenSuslin-Paketes veranschaulichen, ist im Appendix B enthalten. Das dritte Kapittel befasst sich mit der Analyse endlich präsentierter Gruppen. Eine der vielen Aufgaben die man zur einer gegebenen endlich präsentierte Gruppe stellen kann, nämlich die algorithmische Entscheidung, ob G endlich ist, ist bekanntermaßen in Allgemeinen unlösbar. Diese Arbeit geht von endlich präsentierten Gruppen G gegeben auf zwei und drei Erzeuger aus. Ein Algorithmus (später der L_2-Algorithmus gennant) zur Bestimmung der Anzahl aller Normalteiler N der mit der Faktorgruppe G/N von Typ L_2 wird vorgestellt. Dabei heißt eine endliche Gruppe vom Typ L_2 wenn eine Primzahl p und eine natürliche Zahl n existieren, so dass sie entweder zur PSL (2,p^n) oder zur PGL (2,p^n) isomorph ist. Die Bedeutung dieses Algorithmes liegt in der Möglichkeit, alle Faktorgruppen von Typ L_2 (also aus der großen Klasse endlichen einfachen Gruppen) einzeln zu bennenen. In dem Fall, wenn der Algorithmus unendlich viele Normalteiler vom Typ L_2 liefert, hat man für G eine starke Form eines Unendlichkeitsbeweises. Weiterhin, falls unendlich viele Primzahlen involviert sind, kann man sogar eine nicht auflösbare unendliche Matrixgruppe vom Grad 2 über einem Körper der Charakteristik 0 als ein epimorphisches Bild von G angeben. Im Allgemeinen kann man mithilfe des Begriffes Krull Dimension verschiedene Typen von Unendlichkeit unterscheiden.