Über Struktur und Kohomologie von Moduln symmetrischer Gruppen

• On structure and cohomology of symmetric group modules

Weber, Christian; Hiß, Gerhard (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2011)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2011

Kurzfassung

Während die gewöhnliche Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen im Wesentlichen gut erforscht ist, sind bei der modularen Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen noch viele Fragen offen. Auch über die Kohomologie von S_n-Moduln weiß man insgesamt noch wenig. Im Berührungsbereich der beiden letzteren Gebiete setzt die vorliegende Arbeit an. Es werden Möglichkeiten ausgelotet, Aussagen über die erste und zweite Kohomologie bestimmter S_n-Moduln zu treffen. Im Zentrum stehen Spechtmoduln, einerseits über den ganzen Zahlen, andererseits über Körpern von Primzahlcharakteristik p und insbesondere auch, als Bindeglied, über den p-adischen ganzen Zahlen. Über dem Körper F_2 werden zusätzlich Permutationsmoduln, Youngmoduln, einfache Moduln und duale Spechtmoduln betrachtet. Ein wichtiges Hilfsmittel bei diesen Untersuchungen ist der Young-Graph, ein gerichteter Graph, dessen Knotenmenge aus allen Partitionen aller nichtnegativen ganzen Zahlen besteht. Bestimmte induzierte Teilgraphen liefern durch ihre Struktur und Wechselbeziehungen Informationen über die Kohomologie der zu den darin enthaltenen Partitionen gehörigen Spechtmoduln. Im Fall der ungeraden Primzahlen p wird eine Methode von David Hemmer aufgegriffen, die es ermöglicht, auf kombinatorischer Basis zu entscheiden, ob die erste Kohomologie eines Spechtmoduls über einem Körper der Charakteristik p trivial ist oder nicht. Die Handhabung dieser Methode wird verbessert, und in Kombination mit den Teilgraphen des Young-Graphen gelangt man so zu Informationen über die Kohomologie von Spechtmoduln, die jede dieser Herangehensweisen für sich allein genommen nicht liefern kann. Im Fall p = 2 ist Hemmers Methode nicht anwendbar. Hier wird ein anderer Weg eingeschlagen: Durch geschickte Vernetzung geeigneter exakter Kohomologiesequenzen können diverse Kohomologiegruppen zu bestimmten F_2S_n-Moduln auf bereits bekannte Kohomologien zurückgeführt werden. Hierzu ist die Kenntnis der Untermodulverbände bestimmter F_2S_n-Moduln, insbesondere Youngmoduln, erforderlich, von denen einige im Rahmen dieser Arbeit ermittelt wurden. Ein zentrales Thema der Arbeit ist außerdem die Suche nach Partitionen lambda, für die bei einem gegebenen Paar aus einer Primzahl p und einer natürlichen Zahl iota mit p*iota <= n gilt, dass die zweite Kohomologie des zugehörigen Spechtmoduls über Z ein Element enthält, das bei Restriktion auf eine zyklische Untergruppe der S_n, die von einem Produkt aus iota disjunkten p-Zykeln erzeugt wird, nicht auf 0 abgebildet wird. Dieses Problem wird sowohl theoretisch als auch rechnerisch angegangen. Motiviert ist das Interesse an solchen Partitionen durch eine Vermutung von Andrzej Szczepanski, die im Spezialfall der symmetrischen Gruppen besagt: Für jedes n existiert ein Q-vielfachheitsfreies, treues ZS_n-Gitter V, für das die zweite Kohomologiegruppe H^2(S_n,V) ein Element besitzt, das für jede nichttriviale Untergruppe U von S_n bei Restriktion auf U nicht auf 0 abgebildet wird. Mit Hilfe der hier verwendeten Methoden werden neue Wege zu einem möglichen Beweis dieser Aussage aufgezeigt; insbesondere wird die Vermutung für n <= 13 bewiesen.

Einrichtungen

• Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie [114710]
• Fachgruppe Mathematik [110000]