Orthogonal representations of finite groups

• Orthogonale Darstellungen endlicher Gruppen

Braun, Oliver; Nebe, Gabriele (Thesis advisor); Hiß, Gerhard (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Kurzfassung

Das Thema dieser Arbeit sind orthogonale Darstellungen endlicher Gruppen. Darunter verstehen wir ein Paar (V,q) bestehend aus einem KG-Modul V und einer G-invarianten nicht ausgearteten quadratischen Form q auf V. Wir betrachten hier lediglich endliche Gruppen G und total reelle Zahlkörper K. Die G-invarianten quadratischen Formen auf V bilden einen K-Vektorraum und wir interessieren uns vorrangig für den Fall, in dem dieser Raum eindimensional ist. Ist dies der Fall, so nennen wir den KG-Modul V uniform.Es ist ein bekanntes Resultat der gewöhnlichen Darstellungstheorie, dass der Isomorphietyp des KG-Moduls V durch seinen Charakter χ festgelegt ist. In anderen Worten legt χ eine nicht ausgeartete G-invariante quadratische Form q auf V fest, falls V uniform ist. Dies wirft die Frage auf, wie man die Isometrieklasse von q anhand des Charakters χ bestimmen kann.Erste Ergebnisse zu dieser Frage wurden von Gabriele Nebe erzielt, die in ihrer Habilitationsschrift eine rein charaktertheoretische Methode entwirft, um die obige Frage zu beantworten. Diese Methode ist jedoch nur unter einigen günstigen (und einschränkenden) Voraussetzungen anwendbar, sodass die Frage im Allgemeinen noch unbeantwortet ist.Zu dieser offenen Frage leistet die vorliegende Arbeit verschiedene Beiträge. Zunächst werden der theoretische Hintergrund und die bekannten Ergebnisse präsentiert. Danach stellen wir eine Version der Clifford-Theorie für orthogonale Darstellungen normaler Untergruppen vor und klassifizieren die orthogonalen Darstellungen semidirekter Produkte der Form C_p : C_(p−1). Diese Ergebnisse werden dann genutzt um eines der Hauptergebnisse der Arbeit, nämlich die Klassifikation der orthogonalen Darstellungen der unendlichen Serie von Gruppen SL_2(q) fuer Primpotenzen q zu erhalten.Wir besprechen zudem ein unabhängiges Thema, die so genannten Clifford-Ordnungen, bei denen es sich um Teilringe der klassischen Clifford-Algebra eines quadratischen Raums handelt. Wir definieren diese Teilringe und beschreiben einige ihrer arithmetischen Eigenschaften.Die Arbeit wird mit einem Abschnitt über rechnerische Ergebnisse zu orthogonalen Darstellungen der endlichen einfachen Gruppen im "Atlas of finite groups" abgeschlossen.