Gradient flows and a generalized Wasserstein distance in the space of Cartesian currents

Kampschulte, Malte; Melcher, Christof Erich (Thesis advisor); Westdickenberg, Michael (Thesis advisor); Jerrard, Robert L. (Thesis advisor)

Aachen (2017, 2018)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Kurzfassung

Das Ziel dieser Dissertation ist die Untersuchung von Gradientenflüssen in generellen Räumen von Currents und für Cartesian Currents (Wie von Giaquinta, Modica and Souvcek eingeführt) als wichtigen Spezialfall. In beiden Fällen liegt der Fokus auf Currents ohne Rand, jedoch lassen sich die Resultate auch auf diesen Fall verallgemeinern. Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil befasst sich damit, eine sinnvolle Metrik für Gradientenflüsse zu finden, in Gestalt einer verallgemeinerten Wasserstein-Distanz. Die grundlegende Idee hierbei ist es, ein Analogon der Benamou-Brenier-Formulierung für optimal Transport zu benutzen. Um dorthin zu gelangen, definieren wir zunächst einen geeigneten Begriff des Transports für Currents, in der Form einer Lie-Ableitung. Statt einer Massenerhaltung führt dies zu einer Erhaltung der Vielfachheit. Wir fahren dann damit fort, zwei Familien von Längenfunktionalen für Kurven von Currents, sowie die resultierenden verallgemeinerten Wasserstein-Distanzen zu definieren, eine für den allgemeinen Fall und eine speziell für Cartesian Currents, beide parametrisiert durch den Exponenten $p$. Im Fall $p=1$ zeigen wir dann, dass diese verallgemeinerte Wasserstein-Distanz tatsächlich äquivalent zu Flat-Metrik für Currents ist. Dazu verwenden wir das hilfreiche Konzept, das eine Kurve von $k$-Currents von endliche $1$-Länge eine wohldefinierte Spur in Form eines $k+1$-Currents besitzt. Ebenso zeigen wir, dass für Cartesian Currents die neu definierte Distanz einer Art geometrischen $L^p$-Distanz entspricht. Zum Abschluss dieses Teils der Arbeit diskutieren wir dann das Problem der Unterhalbstetigkeit und wie sich die vorherigen Resultate auf Currents mit Rand verallgemeinern lassen. Der zweite Teil der Arbeit führt dann eine Möglichkeit aus, wie sich Gradientenflüsse von Currents mit der Methode der minimizing Movements behandeln lassen. Hier zeigen wir, dass durch die starken Kompaktheitseigenschaften der Currents unter relativ geringen Anforderungen an Koerzivität und Unterhalbstetigkeit, nicht nur eine Konvergenz dieser Methode garantiert ist, sondern der resultierende Grenzwert die Form eines Raumzeit-Currents besitzt. Wir beschreiben weiterhin diverse mögliche Verbesserungen der Methode sowie die Verbindungen mit der verallgemeinerten Wasserstein-Distanz. Zum Abschluss beschreiben wir noch einige mögliche Anwendungen.