Novel implicit unconditionally stable time-stepping for DG-type methods and related topics

• Neue implizite unbeschränkt stabile Zeitschrittverfahren für DG-artige Verfahren und zugehörige Themen

Jaust, Alexander; Schütz, Jochen (Thesis advisor); Torrilhon, Manuel (Thesis advisor)

Aachen (2018)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018. - Dissertation, Hasselt University, 2018

Kurzfassung

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Verbesserung und Untersuchung von hybridisierten diskontinuierlichen Galerkin-Verfahren (HDG-Verfahren) für Probleme der numerischen Strömungsmechanik. HDG-Verfahren und im Allgemeinen Verfahren hoher Ordnung, zeichnen sich durch eine hohe Genauigkeit aus. Die hohe Genauigkeit verspricht die Qualität von Simulationen aus Forschung und Entwicklung zu verbessern. Es sind jedoch Fragen zur Stabilität, Effizienz und Anwendbarkeit auf eine große Anzahl verschiedener Probleme offen. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit sind zeitabhängige Strömungen, die häufig durch die Euler- oder Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben. Aus diesem Grund untersuchen wir verschiedene Arten von impliziten Zeitintegratoren hoher Ordnung, die noch nicht mit HDG-Verfahren angewandt wurden. Die Untersuchung beinhaltet implizite allgemeine lineare Verfahren und implizite multiderivative Zeitintegratoren. Die Stabilität der impliziten multiderivative Zeit integratoren ist geringer als erwartet, wenn das typische Vorgehen für explizite Verfahren dieser Art verwendet wird. Darum entwickeln wir einen neuen Ansatz für implizite Verfahren, der die Stabilitätsprobleme löst. Die effiziente Implementierung des numerischen Verfahrens ist sehr wichtig für einen geringen Zeitaufwand von Simulationen. Im Rahmen der Entwicklung verschiedener Implementierungen wurde eine Version des HDG-Verfahrens zu FESTUNG, einem quelloffenen Softwarepaket für MATLAB / GNU Octave, beigesteuert. Neben guter Effizienz zielen wi rauf gute Dokumentation, einfache Nutzbarkeit und Erweiterbarkeit ab. Viele Gleichungen aus der Strömungsmechanik sind nichtlinear, was häufig zu Unstetigkeiten in der Lösung führt. Um diese Unstetigkeiten vernünftig mit einem Verfahren hoher Ordnung wie dem HDG-Verfahren zu approximieren, muss ein shock-capturing Verfahren verwendet werden. Wir identifizieren ein geeignetes Verfahren und begründen unsere Entscheidung durch den Vergleich mit anderen solcher Verfahren. Des Weiteren zeigen wir, dass unsere Wahl des Verfahrens die Approximation verschiedener komplizierter Testfälle erlaubt. Das Lösen der betrachteten Probleme erfordert die Lösung von linearen Gleichungssystemen. Dieser Schritt macht einen Großteil der Zeit- und Speicheranforderungen der Simulation aus. Deshalb ist es wichtig einen effizienten linearen Löser zu verwenden. Wir diskutieren einen neuen linearen Löser, der die spezielle Struktur von diskontinuierlichen Galerkin-Verfahren ausnutzt. Wir wenden den Löser erstmals auf nichtlineare Probleme an und beobachten eine gute Übereinstimmung der Resultate mit denen eines etablierten Lösers.