Likelihood-based prediction in models of ordered data

• Likelihoodbasierte Vorhersage in Modellen geordneter Daten

Volovskiy, Grigoriy; Kamps, Udo (Thesis advisor); Burkschat, Marco (Thesis advisor); Nagaraja, Haikady N. (Thesis advisor)

Aachen (2018, 2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018

Kurzfassung

Der Untersuchungsgegenstand der vorliegenden Dissertation ist die statistische Vorhersage der zukünftigen Beobachtungen in Modellen geordneter Daten. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Herleitung von Punktvorhersagen für von Kamps (1995) eingeführte verallgemeinerte Ordnungsstatistiken. Es werden insbesondere Vorhersagemethoden untersucht, welche sich aus der Anwendung des Maximum-Likelihood-Prinzips auf die prädiktive und die beobachtete pädiktive Likelihood-Funktionen ergeben. Während die Erstere ein Standardwerkzeug der statistischen Prognosetheorie ist, ist die Letztere bisher zur Herleitung von Punktvorhersagen nicht verwendet worden. Bemerkenswerterweise kommt der bedingten Dichte der Daten gegeben den Wert der vorherzusagenden Zufallsvariablen, aus welcher sich die beobachtete prädiktive Likelihood-Funktion algebraisch ergibt, auch in der Theorie der prädiktiven Suffizienz eine entscheidende Bedeutung zu.Es werden Existenz und Eindeutigkeit von durch Maximierung der prädiktiven Likelihood-Funktion erhaltenen Punktvorhersagen (ML-Punktvorhersagen) von zukünftigen verallgemeinerten Ordnungsstatistiken basierend auf einem vielfach Typ II zensierten Datensatz gezeigt, wenn die zugrunde liegende Verteilung einer zweiparametrigen Exponentialverteilung genügt. Die erhaltenen Resultate vereinheitlichen und verallgemeinern viele bereits existierende Ergebnisse. Ferner wird unter Verwendung von neuen asymptotischen Ergebnissen zu zentralen verallgemeinerten Ordnungsstatistiken, welche an und für sich von Interesse sind, gezeigt, dass die hergeleiteten ML-Punktvorhersagen asymptotische Güteeigenschaften, wie z.B. starke Konsistenz und asymptotische Normalität, besitzen. Des Weiteren werden für einen doppelt Type II zensierten Datensatz die ML-Punktvorhersagen mit den besten linearen erwartungstreuen Punktvorhersagen im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers verglichen. Schließlich wird gezeigt, dass ML-Punktvorhersagen, beste lineare erwartungstreue und beste lineare äquivariante Punktvorhersagen basierend auf einem vielfach Type II zensierten Datensatz asymptotisch effizient sind. Die Anwendungsmöglichkeiten der beobachteten prädiktiven Likelihood-Funktion zur Herleitung von Punktvorhersagen werden anhand der Problemstellung der Vorhersage von zukünftigen Rekorden demonstriert. Es wird die allgemeine Form von auf der beobachteten prädiktiven Likelihood-Funktion basierenden Maximum-Likelihood-Punktvorhersagen (MOL-Punktvorhersagen) hergeleitet, wenn die zugrunde liegende Verteilungsfunktion stetig ist. Anschließend wird dieses Resultat zur Herleitung von MOL-Punktvorhersagen von zukünftigen Rekorden basierend auf der Exponential-, Extremwert-, Pareto-, Lomax-, Weibull-, power-function - und Gleichverteilung verwendet. Es wird gezeigt, dass in den meisten Fällen die so erhaltenen MOL-Punktvorhersagen im Vergleich zu ML-Punktvorhersagen bessere Güteeigenschaften besitzen. Zur Bewertung der Güte von Punktvorhersagen werden die Verzerrung, der mittlere quadratische Fehler sowie die Pitman-Effizienz herangezogen. Ferner wird eine Verbindung zwischen MOL-Punktvorhersagen und aus der Maximierung von Produkten von Spacings von geeignet transformierten Daten resultierenden Punktvorhersagen aufgezeigt. Motoviert durch die Ergebnisse der Untersuchung von MOL-Punktvorhersagen für zukünftige Rekorde, wird das Prinzip der Maximierung von Produkten von Spacings (MPS-Methode) von geeignet transformierten Daten zur Herleitung von Punktvorhersagen für zukünftige verallgemeinerte Ordnungsstatistiken ohne Einschränkung an die Modellparameter in einer allgemeinen Form formuliert. Eine weitreichende Verallgemeinerung der MPS-Methode wird durch Verwendung von Konzepten aus der Informationstheorie erreicht, welche auf der Maximierung der Entropie von durch geeignete Transformation der Daten erhaltenen diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßen basiert. Die Form der Punktvorhersagen wird für verschiedene Entropiemaße als Funktion der zugehörigen Schätzer der Verteilungsparameter hergeleitet. Es werden allgemeine Resultate bezüglich der Form von auf so gen. Phi-Entropien basierenden Punktvorhersagen bewiesen. Ferner werden die erhaltenen Ergebnisse zur Vorhersage von zukünftigen verallgemeinerten Ordnungsstatistiken verwenden, wenn die zugrunde liegende Verteilung der zweiparametrigen Exponentialverteilung genügt. Bemerkenswerterweise entspricht eine der erhaltenen Punktvorhersagen der besten linearen erwartungstreuen Punktvorhersage. Zusätzlich zu Punktvorhersagen wird in der vorliegenden Arbeit kurz auf Vorhersageintervalle eingegangen. Es werden äquivariante Vorhersageintervalle mit minimaler Grüße für zukünftige verallgemeinerte Ordnungsstatistiken basierend auf einem vielfach Typ II zensierten Datensatz, wenn die zugrunde liegende Verteilung einer Exponentialverteilung mit unbekanntem Lokations-, Skalen- oder Lokations-Skalenparameter genügt, hergeleitet.