Reduced basis methods for the analysis, simulation, and control of noncoercive parabolic systems

O'Connor, Robert Gerard; Grepl, Martin Alexander (Thesis advisor); Stamm, Benjamin (Thesis advisor); Volkwein, Stefan (Thesis advisor)

Aachen (2018, 2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018

Kurzfassung

In der vorliegende Arbeit präsentieren wir neue Ansätze für die Analyse, Simulation und Regelung parameterabhängiger parabolischer Probleme. Einige von diesen Methoden sind Reduzierte-Basis-Methoden und die anderen sind verwandte Verfahren. Sie machen es möglich, den Rechenaufwand der Lösung verschiedener Probleme enorm zu reduzieren. Der größte Vorteil von unser Methode ist es, dass sie auch auf nicht koerzive Probleme angewendet werden kann. Frühere Reduzierte-Basis-Methoden für die optimale Steuerung parabolischer Probleme können nur für koerzive Systeme benutzt werden. Wir präsentieren die erste Methode, die auch im Fall nicht koerzive Probleme angewendet werden kann. Diese Methode ist eine Erweiterung der Raum-Zeit-Methode, die für die Simulation parabolischer Probleme benutzt werden kann. Wir präsentieren auch die erste Anwendung von Ljapunovfunktionen in der Reduzierten-Basis-Methode. Sie bieten eine interessante Alternative zu der Raum-Zeit-Methode und ermöglichen Anwendungen in neuen Bereichen. Um solche Methoden praktikabel zu machen, präsentieren wir eine Erweiterung der Successive-Constraint-Method für lineare Matrix-Ungleichungen. Solche Ungleichungen spielen eine entscheidende Rolle in vielen Anwendungen, in denen die Ljapunovstabilität gezeigt werden muss. Die erste Methode, die wir präsentieren, ist auf Probleme mit niedrig dimensionalen Lösungsräumen beschränkt. Wir zeigen dann, wie diese Methode für die Erstellung von Ljapunovfunktionen erweitert werden kann. Als letzte Anwendung demonstrieren wir die Anwendung von Ljapunovfunktionen für die Herleitung von rigorosen Fehlerschranken für nicht koerzive parabolische Systeme. Solche Fehlerschranken sind oft effizienter als Raum-Zeit-Fehlerschranken, weil sie die Stabilitätstheorie dynamischer Systeme nutzen.