Darstellung des Maaß-Raumes mit ultrasphärischen Differentialoperatoren

• Description of the Maass space by ultraspherical differential operators

Bleß, Stefan; Krieg, Aloys (Thesis advisor); Heim, Bernhard (Thesis advisor)

Aachen (2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Kurzfassung

Maaß hat 1979 einen Unterraum des Vektorraums der Siegelschen Modulformen über eine spezielle Relation der Fourier-Koeffizienten eingeführt und Andrianov hat im gleichen Jahr die Invarianz dieses Raumes unter Hecke-Operatoren nachgewiesen, indem er die Fourier-Koeffizienten in aufwändigen Rechnungen bestimmt hat. Gallenkämper, Heim und Krieg haben 2016 einen alternativen Beweis gefunden, der mittels Differentialoperatoren und Hecke-Operatoren bezüglich der Jacobi-Gruppe zur Siegelschen Modulgruppe ebenfalls die Invarianz des Maaß-Raumes nachweist. In dieser Ausarbeitung werden zunächst klassische Resultate zu Siegelschen Modulformen auf Modulformen zu anderen Gruppen wie beispielsweise der Kongruenzgruppe $\Gamma_{2,0}(q)$ oder der paramodularen Gruppe sowie deren Erweiterungen übertragen. Dabei werden insbesondere Modulformen bezüglich Multiplikatorsystemen betrachtet. Für die Kongruenzgruppe $\Gamma_{2,0}(q)$ und die paramodulare Gruppe wird im Anschluss eine alternative Darstellung des Maaß-Raumes über Differentialoperatoren hergeleitet, welche, aufbauend auf dem neuen Resultat von Gallenkämper, Heim und Krieg aus dem Jahr 2016, ebenfalls die Invarianz des Maaß-Raumes bezüglich $\Gamma_{2,0}(q)$ beziehungsweise der paramodularen Gruppe unter entsprechenden Hecke-Operatoren liefert. Diese speziellen Differentialoperatoren basieren auf einer Verallgemeinerung des Gegenbauerpolynoms und bilden Modulformen komponentenweise wieder auf Modulformen ab, so dass auf jede Komponente Hecke-Operatoren angewendet werden können. Da die Differentialoperatoren auf im Grad steigenden Polynomen basieren, folgt durch das Gleichsetzen der komponentenweisen Bilder einer Modulform und mithilfe der Eindeutigkeit einer Fourier-Entwicklung direkt die Maaß-Bedingung. Diese neue Charakterisierung des Maaß-Raumes basiert auf der Betrachtung unendlich vieler Hecke-Operatoren, aber auch durch das Weglassen endlich vieler Hecke-Operatoren bleibt diese alternative Charakterisierung erhalten. Dies wird in dieser Ausarbeitung für die Kongruenzgruppe $\Gamma_{2,0}(q)$ sowie die paramodulare Gruppe unter gewissen Voraussetzungen bewiesen und darauf aufbauend die Invarianz des Maaß-Raumes unter den entsprechenden Hecke-Operatoren gefolgert.