Finite element representation of the EEG forward problem with multipole expansion

• Multipolentwicklung zur Lösung des EEG Vorwärtsproblems mittels Finiter Elemente

Hanrath, Anne; Grasedyck, Lars (Thesis advisor); Wolters, Carsten H. (Thesis advisor)

Aachen (2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Kurzfassung

Die Bildgebung der Gehirnaktivität mittels Elektroenzephalographie (EEG) ist ein wichtiger Aspekt der Kognitionswissenschaft und Neurologie. Die Zuverlässigkeit der Lokalisierung der Gehirnaktivität auf der Grundlage von EEG-Daten war jedoch bisher ein schwieriges Unterfangen. In dieser Dissertation schlagen wir einen neuen, zuverlässigen mathematischen Algorithmus für diesen Zweck vor. Zunächst werden wir einen Überblick über den biologischen Hintergrund der Methodik in der Kognitionswissenschaft geben. Um die Hirnaktivität aus EEG-Daten zu lokalisieren, müssen wir eine elliptische partielle Differentialgleichung (PDGL) mit einem mathematischen Dipol als rechte Seite lösen. Dazu verwenden wir Finite Elemente Methoden (FEM). FE kann jedoch einen mathematischen Dipol nicht diskretizieren. Wir lösen dieses Problem mit einer Regularisierung. Zweitens listen wir zeitgemäße Regularisierungsansätze auf. Der erfolgreichste - der Venant-Ansatz - hat bisher keine mathematische und theoretische Grundlage. Diese Dissertation erweitert diesen Ansatz sowohl theoretisch als auch praktisch. Drittens formulieren wir einen neuen Ansatz, der auf dem Venant-Ansatz basiert. Es beruht auf der Idee, den mathematischen Dipol durch eine Verteilung von Monopolen zu ersetzen. Monopole werden exakt auf FE-Knoten platziert, wobei die entsprechenden Monopollasten als FE-Werte verwendet werden. Die Substitution eines mathematischen Dipols durch eine Monopolverteilung führt zu einer neuen PDGL. Mit Annahmen sowohl für Monopollasten als auch für die elektrische Leitfähigkeit in der PDGL beweisen wir, dass es eine einzigartige Lösung für die extrem schwache Formulierung der PDGL mit der Dualitätsmethode gibt. Mit Hilfe der mehrpoligen Erweiterung können wir einen intuitiveren Weg zur Berechnung von Monopolen ableiten. Dabei werden das Potenzial des mathematischen Dipols und das Potenzial der Monopolverteilung erweitert und die verschiedenen Begriffe verglichen. Dieser neue Ansatz heißt Multipol-Ansatz. Für den Multipol-Ansatz können wir eine Fehlerabschätzung mit einem Abfall in Richtung der Oberfläche für eine kleine Kugel mit uniformer Leitfähigkeit um die Dipolposition herum angeben. Viertens und letztens erproben wir die beliebtesten Ansätze, einschließlich den neuen Multipol-Ansatz, in numerischen Berechnungen. Zuerst testen wir mit uniformer Leitfähigkeit in 2D. Danach wenden wir die Ansätze auf sphärische Modelle mit Schichten unterschiedlicher Leitfähigkeit in 3D an. Schließlich berechnen wir einen Zielfunktionsscan an einem 3D-Kugelmodell. Wir untersuchen den Multipol-Ansatz in verschiedenen Konfigurationen und finden die optimalen Parameter. In diesem Optimalfall übertrifft der neue Ansatz die heutigen Ansätze mühelos.