Mathematical analysis of boundary integral equations and domain decomposition methods with applications in polarisable electrostatics

• Mathematische Analyse von Randintegralgleichungen und Gebietszerlegungsmethoden mit Anwendungen in der polarisierbaren Elektrostatik

Hassan, Muhammad; Cancès, Eric (Thesis advisor); Hiptmair, Ralf (Thesis advisor); Stamm, Benjamin (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

Diese Dissertation befasst sich in erster Linie mit der Analyse von mathematischen Modellen, die bei der Untersuchung der polarisierbaren Elektrostatik entstehen, entweder im Zusammenhang mit dielektrischen Teilchen, die sich gegenseitig polarisieren, oder mit impliziten Solvationsmodellen in der theoretischen Chemie. Das Hauptziel unserer Arbeit ist es zu verstehen, wie die Genauigkeit und der Rechenaufwand der numerischen Methoden, die zur Lösung der leitenden Gleichungen in beiden Fällen verwendet werden, mit der Anzahl der Objekte im Problem skalieren. Um den Leser zu unterstützen, haben wir die Dissertation in drei weitgehend unabhängige Teile gegliedert: Im ersten Teil dieser Dissertation (Kapitel 2-5) analysieren wir eine Randintegralgleichung, die die elektrostatische Wechselwirkung zwischen N dielektrischen kugelförmigen Teilchen modelliert, die sich gegenseitig polarisieren. Unser Hauptergebnis ist der Nachweis, dass unter geeigneten geometrischen Annahmen die drei wichtigsten Größen, die für dieses Problem von Interesse sind, nämlich die induzierte Oberflächenladung auf jedem Teilchen, die gesamte elektrostatische Energie des Systems und die auf jedes Teilchen wirkenden elektrostatischen Kräfte, mit linearer Skalierung in der Genauigkeit berechnet werden können, d.h. es sind nur O(N) Operationen erforderlich, um Näherungen dieser Größen mit einem gegebenen und festen relativen Fehler zu berechnen. Im zweiten Teil dieser Dissertation (Kapitel 6-8) führen wir eine Skalierbarkeitsanalyse der parallelen Schwarz-Methode durch, die zur Lösung des impliziten Solvationsmodells von COSMO für das Reaktionspotential verwendet wird, das von einem gelösten Molekül mit einer gegebenen Ladungsverteilung, das in ein polarisierbares Medium eingebettet ist, erzeugt wird. Unser Hauptergebnis ist die Konstruktion eines neuen, systematischen Rahmens, der es uns erlaubt, die Norm des Schwarz-Operators für Gebiete zu charakterisieren, die gelöste Moleküle repräsentieren, in denen mehrere Atome eine gemeinsame Überlappung haben und Atome vollständig im Inneren des Moleküls ohne Zugang zum äußeren Medium eingebettet sein können. Der dritte Teil dieser Dissertation (Kapitel 9) stellt eine Abkehr von den Themen der polarisierbaren Elektrostatik und der Skalierbarkeitsanalyse dar, die sich auf die Teile I und II beziehen, aber sowohl mit den Integraloperatoren als auch mit der Gebietszerlegung in einem allgemeinen Sinn verbunden sind. Unser Hauptergebnis ist hier die Etablierung einer fundamentalen Kontinuitätseigenschaft für Riesz-Potentiale auf polygonalen Rändern in zwei räumlichen Dimensionen. Als schwach singuläre Integraloperatoren können Riesz-Potentiale verwendet werden, um exponentiell konvergente, nicht überlappende Gebietszerlegungsmethoden für die Helmholtz-Gleichung zu konstruieren, und unser Ergebnis füllt eine Lücke in der Analyse solcher Methoden.