Analysis and numerical methods for coupled hyperbolic conservation laws

• Analysis und numerische Methoden für gekoppelte hyperbolische Erhaltungssätze

Sikstel, Aleksey; Herty, Michael (Thesis advisor); Müller, Siegfried (Thesis advisor); Rohde, Christian (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

Diese Dissertation behandelt die analytischen Eigenschaften der Lösungen von gekoppelten hyperbolischen Erhaltungssätzen sowie dazugehörige numerische Methoden. Der Fokus liegt auf zwei speziellen Problemen: (i) kompressible Gase gekoppelt mittels eines Gasgenerators und (ii) ein linear-elastisches Material gekoppelt mit einem kompressiblen Fluid. Die dafür entwickelten analytischen und numerischen Methoden sind auf eine breite Klasse von Kopplungsproblemen mit hyperbolischen Erhaltungssätzen anwendbar. In Kapitel 2 werden hyperbolische Erhaltungssätze eingeführt und grundlegende Konzepte wie schwache Lösungen, Rankine-Hugoniot Bedingungen, Entropielösungen und Lax-Kurven erläutert. Diese Konzepte dienen dazu, die lokale Lösung von Riemann-Problemen zu allgemeinen eindimensionalen Systemen von hyperbolischen Erhaltungssätzen zu beschreiben. In Kapitel 3 werden die Lösungen des Riemann-Problems mitbeliebigen, physikalisch zulässigen Anfangsbedingungen für die linear-elastische Gleichungen und die Eulergleichungen mit perfektem Gas vorgestellt. Diese Themen gelten als klassisch und dienen als Basis für die nachfolgenden Kapitel. In Kapitel 4 wird zunächst der allgemeine Rahmen für die Kopplung von hyperbolischen Erhaltungssätzen mittels Riemann-Problemen präsentiert. Anschließend wird diese Methode auf das Problem der Gasgeneratorkopplung und das Problem der Fluid-Struktur-Kopplung angewendet. Insbesondere werden die Bedingungen für die Existenzeiner eindeutigen Lösung dieser Probleme untersucht. Kapitel 5 beschäftigt sich mit den numerischen Methoden für Kopplungsprobleme. Ein Verfahren, das die allgemeine Kopplungsmethode aus Kapitel 4 im Kontext der Runge-Kutta Discontinuous Galerkin realisiert, wird demonstriert. Außerdem wird ein Multilevel-Zeitschritt-Algorithmus für Kopplungsprobleme mit expliziten Zeitschemata eingeführt. Die numerischen Resultate mehrerer Simulationen werden präsentiert und analysiert. Für die Gasgeneratorkopplung werden drei Testfälle behandelt. Die ersten zwei Fälle modellieren eine realistische Situation in einem Gasnetzwerk und im dritten Fall werden extreme Bedingungen betrachtet, die zwar unrealistisch, jedoch für den Test der Kopplungsmethode hilfreich sind. Für die Fluid-Struktur-Kopplung wird die empirische Konvergenzordnung der numerischen Kopplungsmethode validiert. Dabei wird eine Lö-sung betrachtet, die aus einem Stoß im Fluid besteht, der sich gegen die Materialgrenze bewegt, an dieser anschließend reflektiert und in das elastische Material transmittiert wird. Weiterhin wird für eine ähnliche Lösung die empirische Konvergenzordnung unter Anwendung des Multilevel-Zeitschritt-Algorithmus berechnet. Das Resultat zeigt, dass der Multilevel-Zeitschritt-Algorithmus die Genauigkeit der Kopplungsmethode nicht beeinträchtigt und eine beachtliche Anzahl zu kleiner Zeitschritte einspart. Schließlich wird die Simulation einer heißen Blase in einem kalten Fluid präsentiert. Das Fluid wird mittels kompressiblen Eulergleichungen mit der Stiffened-Gas-Zustandsgleichung modelliert und der Multilevel-Zeitschritt-Algorithmus wird angewendet. Die Lösung dieses Problems weist eine komplexe Wellenstruktur auf, die sich aus der Interaktion der Wellen, die aus der kollabierenden Blase entstehen, zusammensetzt. Diese Wellen werden an der Materialgrenze reflektiert sowie transmittiert und interagieren anschließend mit der heißen Blase. Kapitel 6 enthält ein Fazit und einen Ausblick.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik [114620]