Analysis of the first variation and a numerical gradient flow for integral Menger curvature

• Analysis der ersten Variation und ein numerischer Gradientenfluss für "integral Menger curvature"

Hermes, Tobias; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2012)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Kurzfassung

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Knotenenergie "integral Menger curvature", dem dreifachen Integral über den Kehrwert des klassischen Umkreisradius von drei unterschiedlichen Punkten auf der gegebenen Kurve zur Potenz $pin [2,infty)$. Wir beweisen die Existenz der ersten Variation für eine Teilmenge eines bestimmten gebrochenen Sobolev Raumes für p>3 und ansonsten für eine Teilmenge eines bestimmten Hölder Raumes. Wir diskutieren außerdem, wie gebrochene Sobolev und Hölder Räume für 2pi-periodische, geschlossene Kurven verallgemeinert werden können. Da diese Energie nicht skalierungsinvariant ist, betrachten wir zusätzlich eine reskalierte Variante der Energie, bei der man die Energie zur Potenz eins durch p nimmt und mit der Länge zu einer bestimmten Potenz multipliziert. Wir beweisen, dass der Kreis zumindest ein stationärer Punkt der reskalierten Energie ist. Des Weiteren zeigen wir, dass im Allgemeinen ein Funktional, das ein Skalierungsverhalten $E(rgamma)=r^alpha E(gamma)$, $alphainR$ besitzt, nur dann stationäre Punkte haben kann, falls alpha=0. Daraus folgt, dass die "integral Menger curvature" für $peq 3$ als Nebenbedingung für eine Lagrange-Multiplikator Regel verwendet werden kann. Wir betrachten einen numerischen Gradientenfluss für die reskalierte Energie. Hierzu verwenden wir trigonometrische Polynome zur Approximation der Knoten und die Trapezregel zur numerischen Integration, die in diesem Fall sehr effizient ist. Ferner leiten wir eine geeignete Darstellung der ersten Variation her. Wir präsentieren einen Algorithmus zur adaptiven Wahl der Zeitschrittweite und für die Neuverteilung der Fourier Koeffizienten. Im Anschluss an die Erörterung der vollständigen Diskretisierung zeigen wir eine umfangreiche Sammlung von Beispiel-Flüssen.