Total curvature of curves in the C¹-closure of knot classes with finite, isolated self intersections

• Totalkrümmung von Kurven im C¹-Abschluss von Knotenklassen mit endlichen, isolierten Selbstschnitten

Wacker, Elisabeth; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor); Wagner, Alfred (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021, 2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

Nach dem Satz von Fáry und Milnor ist die Totalkrümmung eines Knotens Gamma, der als einfach geschlossene Kurve definiert ist, nach unten beschränkt durch das 2 pi-fache der Brückenzahl br der Knotenklasse von Gamma. Gerlach et al. beweisen, dass diese Schranke auch für Kurven im C^1-Abschluss von Knotenklassen K mit br(K)=2 gilt, wofür auf ein Resultat über die Existenz alternierender Quadrisekanten von Denne zurückgegriffen wird. Um ganz allgemein elastische Knoten beliebiger Knotenklassen zu charakterisieren, kann somit eine allgemeinere Version des Satzes von Fáry und Milnor hilfreich sein. In dieser Arbeit beweisen wir eine Erweiterung des Satzes von Fáry und Milnor: Wir beschränken die Totalkrümmung von Kurven im C^1-Abschluss von Knotenklassen K mit nur endlich vielen, isolierten Selbstschnitten nach unten durch 2 pi br(K). Nach Voraussetzung existiert somit eine Folge (Gamma_k)_{k in N} subset K, die Gamma in C^1 approximiert. Zunächst beweisen wir die Aussage für Grenzkurven Gamma mit ausschließlich transversalen Selbstschnitten mittels ambient isotoper Transformationen von Gamma_k, deren Totalkrümmung die Totalkrümmung der Grenzkurve Gamma approximiert. Wir verwenden eine Transformationstechnik von von der Mosel, die eine feine Blätterung aus disjunkten, kompakten, konvexen und ebenen Querschnitten nutzt. Darüber hinaus definieren wir neue Isotopien mit Hilfe von speziellen Doppelkegelkonstruktionen. Um das Resultat auf allgemeine, sich nicht ausschließlich transversal schneidende Grenzkurven zu erweitern, führen wir ``Webe-Linien'' ein, in deren Richtung wir die Knoten Gamma_k ambient isotop schieben können. Diese Webe-Linien werden explizit konstruiert und hängen in ihrer Beschaffenheit von der Komplexität der Selbstschnitte von Gamma ab. Durch diese ambient isotopen Verschiebungen können wir die Totalkrümmung kontrollieren und den erweiterten Satz von Fáry und Milnor beweisen.