Mathematisches Kolloquium

Dienstag, 26.06.2012 18:00 Uhr

Dynamische Systeme mit Ruhephasen, Musterbildung, Stabilisierung
durch Heterogenität

Herr Prof. Hadeler, Tübingen

Eine Differentialgleichung (Vektorfeld) im Rⁿ wird durch das Null-Vektorfeld zu einer Gleichung im R²ⁿ erweitert.  In einer Partikel-Interpretation bedeutet das, dass Partikel zufällig die aktive Phase verlassen, in eine Ruhephase eintreten und zufällig wieder aktiv werden. Im einfachsten Fall werden die Übergänge durch Poissonprozesse (exponentiell verteilte Wartezeiten) gesteuert, es werden aber auch andere Verteilungen untersucht, z.B. führen Gamma-Verteilungen auf Gleichungen mit Verzögerungen.
 
Ruhephasen können hochfrequente Oszillationen dämpfen, sie können aber auch stabile Gleichgewichte destabilisieren. Diese unterschiedlichen Phänomene werden systematisch untersucht, wobei sich ein enger Zusammenhang mit der Turing Instabilität (Reaktions-Diffusions-Gleichungen, Musterbildung, Aktivator-Inhibitor-Mechanismus) zeigt. Insbesondere im Falle n=2 ist ein stationärer Punkt genau dann stabil gegenüber der Einführung von Ruhephasen, wenn er stabil ist gegen die Einführung unterschiedlicher Diffusionsraten. Als Beispiele können klassische ökologische Modelle dienen.

Stabilisierung durch Ruhephasen ist ein Grenzfall eines sehr viel allgemeineren Prinzips, das (unter  Voraussetzungen) besagt, dass in räumlich verteilten Systemen Heterogenität stabilisierend wirkt.

Zeit: 18:00 Uhr

Ort: Hörsaal III, Hauptgebäude, RWTH Aachen, Templergraben 55, 52062 Aachen