Adaptive low rank wavelet methods and applications to two-electron Schrödinger equations

Bachmayr, Markus; Dahmen, Wolfgang (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2012)
Doktorarbeit

Kurzfassung

In dieser Arbeit werden Verfahren für die numerische Approximation höherdimensionaler Funktionen entwickelt, die als Lösungen linearer elliptischer Operatorgleichungen oder als Eigenfunktionen solcher Operatoren auftreten. Die Näherungen dieser Funktionen werden durch iterative Verfahren erzeugt, wobei die Iterierten in einer multiplikativ nichtlinearen Tensorzerlegung ihrer Waveletkoeffizienten dargestellt werden. Als konkretes Anwendungsproblem betrachten wir dabei die stationäre elektronische Schrödingergleichung, die Grundgleichung der Quantenchemie, in Modellproblemen mit ein und zwei Elektronen in drei beziehungsweise sechs Raumdimensionen. Neben der Dimensionalität dieser Probleme ist dabei insbesondere das charakteristische singuläre Verhalten der Eigenfunktionen an den Singularitäten der Potentialterme von Interesse. Wir vergleichen zunächst die durch verschiedene Arten der Waveletapproximation für Wellenfunktionen von Zweielektronen-Modellsystemen erreichbaren Konvergenzraten: einerseits direkte Waveletapproximationen mit linear parametrisierten Wavelets, bei uniformer und bei adaptiver Verfeinerung, sowie andererseits Waveletapproximation mit Niedrigrang-Tensordarstellung der Koeffizienten, was die erwähnte nichtlineare Parametrisierung der Wavelets ergibt. Dabei wird jeweils auch die Verbesserung der möglichen Konvergenzraten durch die Kombination mit einem dem Problem angepassten, sogenannten explizit korrelierten Ansatz untersucht. Die vorgestellten adaptive Verfahren zur Berechnung von Niedrigrang-Tensordarstellungen der Waveletkoeffizienten von Näherungslösungen folgen in ihrer Grundstruktur bekannten adaptiven Waveletmethoden, basierend auf einer approximativen Anwendung eines iterativen Verfahrens auf die Waveletdarstellung der zugrundeliegenden unendlichdimensionalen Probleme. Die Überführung in eine solche Waveletdarstellung auf $ell_{2}$, was für endlichdimensionale Teilprobleme einer Präkonditionierung entspricht, erfolgt wie bei Waveletmethoden üblich durch eine Diagonalskalierung der Darstellungsmatrizen der Operatoren. Wir betrachten insbesondere die Schwierigkeiten, die sich dabei im Kontext von Niedrigrang-Zerlegungen ergeben, was uns auf eine Modifikation der Tensordarstellung der Koeffizienten durch eine geeignete Unterteilung der Waveletindexmengen führt. Darauf aufbauend werden algorithmische Grundbausteine entwickelt, mittels derer sich die in adaptiven Waveletverfahren erforderlichen Operationen auch für geeignete Niedrigrang-Darstellungen realisieren lassen. Dies betrifft insbesondere die näherungsweise Auswertung von Residuen sowie die Approximation gegebener Iterierter durch solche mit niedrigerer Darstellungskomplexität. Die Konvergenz des resultierenden Verfahren wird für geeignete Schrittweiten und Fehlertoleranzen nachgewiesen. Alle Parameter zur Steuerung der Iteration hängen dabei nur vom unendlichdimensionalen Problem und der verwendeten Waveletbasis, aber nicht von einer bestimmten Diskretisierung ab. Der entsprechende adaptive Eigenwertlöser wird für die elektronische Schrödingergleichung für Wasserstoff und Helium sowie für weitere Modellprobleme umgesetzt. Für die betrachteten Fälle ist insbesondere die Approximation der Lösungskoeffizienten im Tucker-Tensorformat relevant, es wird aber auf die Anwendbarkeit der Methoden in Verbindung mit neueren, auch für sehr hohe Dimensionen geeigneten Tensorformaten geachtet. Eine zentrale Rolle in der Realisierung des Verfahrens kommt der Approximation von Operatoren zu. Insbesondere betrachten wir für die in den Schrödingergleichungen auftretenden Coulomb-Potentialterme eine Kombination von separablen Entwicklungen mittels Exponentialsummen und Wavelet-Matrixkompression, sowie ein spezialisiertes Verfahren zur Auswertung der benötigten Integrale.

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