A calculus of fractions for the homotopy category of a Brown cofibration category

• Ein Bruchkalkül für die Homotopiekategorie einer Brown-Kofaserungskategorie

Thomas, Sebastian; Hiß, Gerhard (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2012, 2013)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Kurzfassung

Wir untersuchen die Struktur von Homotopiekategorien von Brown-Kofaserungskategorien. Beispiele hierfür sind die Homotopiekategorie der simplizialen Mengen oder die derivierte Kategorie über einer Modulkategorie. Topologische Räume liefern eine Brown-Faserungskategorie, d.h. sie erfüllen die dualen Axiome. Im ersten Teil der Arbeit wird ein Kalkül für diese Homotopiekategorien hergeleitet. Per Definition erhält man die Homotopiekategorie einer Brown-Kofaserungskategorie als Lokalisierung an ihren schwachen Äquivalenzen, also durch formales Invertieren gewisser Morphismen. Ähnlich zur Lokalisierungstheorie von kommutativen Ringen sind die Morphismen der Homotopiekategorie einer Brown-Kofaserungskategorie nach einem Satz von K. Brown Brüche bestehend aus einem Zähler und einem Nenner - sie sind repräsentiert von einem sogenannten 2-Pfeil. Der Gleichheitstest von zwei solchen Brüchen gestaltet sich schwieriger als in der kommutativen Algebra: Während bei kommutativen Ringen zwei Zähler-Nenner-Paare genau dann den gleichen Bruch in der Lokalisierung repräsentieren, wenn sie eine gemeinsame Erweiterung besitzen, genügt es für 2-Pfeile in einer Brown-Kofaserungskategorie, homotope 2-Pfeile zu haben, um denselben Bruch zu repräsentieren. Wir zeigen, dass sich Browns Homotopie-2-Pfeil-Kalkül durch einen strikten Kalkül ersetzen lässt, sofern man sich auf gewisse Repräsentanten für die Brüche beschränkt: Jeder Morphismus in der Homotopiekategorie lässt sich sogar von einem sogenannten Z-2-Pfeil repräsentieren, einem 2-Pfeil mit einer Zusatzeigenschaft. Zwei solche Z-2-Pfeile repräsentieren denselben Morphismus in der Lokalisierung genau dann, wenn sie eine gemeinsame Erweiterung besitzen. Die hierbei benutzten Eigenschaften der Z-2-Pfeile basieren auf einer Interpretation als verallgemeinerte, relative Zylinder. Im zweiten Teil wird der Z-2-Pfeil-Kalkül dazu angewandt, eine zusätzliche Struktur auf der Homotopiekategorie zu konstruieren. Schwede hat gezeigt, dass sich die Homotopiekategorie einer stabilen Brown-Kofaserungskategorie als triangulierte Kategorie im Sinne von Verdier auffassen lässt - eine Verallgemeinerung von Hoveys Satz für stabile Quillen-Modellkategorien. Eine der Eigenschaften von Verdier-Triangeln ist das Oktaeder-Axiom, welches Triangeln und Komposition zueinander in Beziehung setzt. Wir zeigen, dass sich die im Nachweis des Oktaeder-Axioms konstruierten Diagramme als Verallgemeinerung der Verdier-Triangeln auffassen lassen und analoge Eigenschaften besitzen. Etwas allgemeiner noch werden auf der Homotopiekategorie einer (nicht notwendig stabilen) Brown-Kofaserungskategorie mit ausgezeichnetem Nullobjekt eine unstabile Variante von n-Triangeln konstruiert - Verdier-Triangeln und die im Nachweis des Oktaeder-Axioms konstruierten Verdier-Oktaeder entsprechen hierbei den Fällen n = 2 bzw. n = 3. Ferner wird nachgewiesen, dass diese unstabilen n-Triangeln verträglich mit (verallgemeinerten) simplizialen Operationen sind und Fortsetzungseigenschaften analog zu denen der Verdier-Triangeln besitzen. Dies verallgemeinert ein Resultat von Künzer für Frobeniuskategorien.