Infinite dimensional stabilization of convection dominated problems

Welper, Gerrit (Author); Dahmen, Wolfgang (Thesis advisor)

Aachen / Publikationsserver der RWTH Aachen University (2013) [Doktorarbeit]

Seite(n): VI, 150 S. : graph. Darst.

Kurzfassung

Unstabilisierte Galerkin Lösungen für Lineare Konvektion-Diffusions und Transport Probleme zeigen typischerweise starke nicht physikalische Oszillationen. Weiterhin haben die Lösungen oft dünne Schichten, die problematisch für eine akkurate Approximation sind. Das Hauptergebnis dieser Dissertation ist die Entwicklung von stabilen Diskretisierungen, die zudem mit Hilfe von Adaptivität eine gute Approximation der dünnen Schichten ermöglichen. Anders als für die meisten Verfahren in der Literatur, ist der Startpunkt eine gut konditionierte Variationsformulierung der unendlichdimensionalen konvektionsdominierten Probleme, die eine enge Beziehung zwischen dem Fehler und dem Residuum erlaubt. Dieser Zugang hat zwei wesentliche Vorteile: zum einen erhält man ein stabiles Lösungsverfahren durch die Minimierung des Residuums und zum anderen kann man Residuum basierte Fehlerschätzer benutzten, um die Adaption zu steuern. Allerdings muss die gut konditionierte Variationsformulierung mit großer Sorgfalt gewählt werden, da einfache Ansätze numerische Lösungen mit starken Artefakten erzeugen. Eine wesentliche Ingredienz zum finden besserer Variationsformulierungen ist eine Analyse des Verhaltens im Fall von verschwindender Diffusion. Nach der Festlegung der Variationsformulierung, erhält man eine optimale Approximation aus einem endlichdimensionalen Teilraum durch Minimierung des Residuums. Da dieses nicht explizit von der unbekannten Lösung abhängt, kann man diesen Ansatz im Prinzip realisieren. Für eine praktische Umsetzung hat man allerdings noch das Problem, dass das Residuum typischerweise in einer Dualen Norm gemessen wird, die man nicht exakt auswerten kann, sondern approximieren muss. Der Fehler dieser Approximation ist wesentlich für die Stabilität des Verfahrens. Darum werden in der Dissertation a-priori Wahlen, die Stabilität garantieren, und a-posteriori Wahlen, die eine adaptive Approximation der dualen Normen ermöglichen, behandelt. Adaptive Finite Elemente Verfahren für partielle Differentialgleichungen basieren auf Fehlerindikatoren, um die nächsten Verfeinerungsschritte zu wählen. Da der exakte Fehler nicht berechnet werden kann, schätzt man das Residuum ab, was nur dann sinnvoll ist, wenn das Residuum den Fehler akkurat widerspiegelt, was durch die gut konditionierten Variationsformulierungen der Dissertation garantiert ist. Fehlerindikatoren für die dargestellten Verfahren und zugehörige Adaptive Löser werden in der Dissertation vorgestellt.

Identifikationsnummern

  • URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-45352
  • REPORT NUMBER: RWTH-CONV-143674