Quaternionic modular forms of degree two over Q(-3,-1)

• Quaternionische Modulformen zweiten Grades über Q(-3,-1)

Gehre, Dominic Steffen; Krieg, Aloys (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2012, 2013)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Kurzfassung

Die Dissertation beschäftigt sich in erster Linie mit der Untersuchung von Quaternionischen Modulformen zweiten Grades über der Maximalordnung $O=+(1+i_1sqrt{3})/2+ i_2+(i_2+i_1i_2sqrt{3})/2$ im Schiefkörper der Quaternionen $H=R+i_1R+i_2R+i_1i_2R$. Diese sind wie folgt definiert: Sei $Sp_2(O)leqGL_4(O)$ die Quaternionische Modulgruppe über $O$ und $mathcal{H}(H)subsetH^{2imes 2}otimes_{R}C$ der Quaternionische Halbraum zweiten Grades, $GammaleqSp_2(O)$ eine Untergruppe und $u$ ein Multiplikatorsystem zu $Gamma$ vom Gewicht $k$ -- diese Begriffe werden in der Dissertation näher erklärt. Dann nennt man eine holomorphe Funktion $f:mathcal{H}(H)ightarrowC$ eine Quaternionischen Modulformen zweiten Grades zu $Gamma$ und $u$ vom Gewicht $k$ falls [f((AZ+B)(CZ+D)^{-1})=u(M)(det(check{C}check{Z}+check{D}))^{k/2} f(Z)] für alle $M=igl(egin{smallmatrix} A & B \ C & D end{smallmatrix}igr)inGamma$ gilt, wobei "$~^{vee};$"' die Standardeinbettung von $H$ in $C^{2imes2}$ bezeichnet. Von besonderem Interesse ist die Bestimmung des graduierten Ringes aller Quaternionischer Modulformen. Die Arbeit geht nun essentiellen Fragestellungen nach, welche zur Bestimmung dieses graduierten Ringes benötigt werden. In erster Linie werden wichtige Klassen von Quaternionischen Modulformen näher betrachtet und analysiert. Zudem wird eine Herangehensweise zur Lösung des obigen Problems erarbeitet. Das erste Kapitel dient als Einleitung. Quaternionische Modulformen werden definiert und erste fundamentale Erkenntnisse ausgearbeitet. Darunter fallen auch die Bestimmung aller Multiplikatorsysteme der Quaternionischen Modulgruppe und erste Dimensionsabschätzungen. Im zweiten Kapitel werden Quaternionische Thetareihen und im Speziellen Thetakonstanten betrachtet. Bei vergleichbaren Fragestellungen zu Modulformen reichten oft Thetakonstanten zur Bestimmung der graduierten Ringe aus. Hier werden nun Quaternionische Thetakonstanten näher beleuchtet und dabei unter anderem Fragen zu ihrem Transformationsverhalten, ihren Fourierentwicklungen und ihren Einschränkungen auf Halbräume kleinerer Dimensionen beantwortet. Das dritte Kapitel behandelt den Begriff des Quaternionischen Maaß-Lifts. Hauptaugenmerk wird hier auf Quaternionische Maaß-Lifts ungeraden Gewichts zu nicht-trivialen Multiplikatorsystemen gelegt. Die hieraus resultierende Existenz von nicht-trivialen Quaternionischen Modulformen ungeraden Gewichts zur vollen Modulgruppe stellt hierbei einen wesentlichen Unterschied zu Quaternionischen Modulformen über der Hurwitz-Ordnung dar. Zur Analyse der Maaß-Lifts ungeraden Gewichts werden zudem die Theorien von elliptischen Hecke-Operatoren und elliptischen Neuformen ausgiebig dargelegt und neue Resultate für die hier benötigten Zwecke erarbeitet. Im vierten Kapitel werden Quaternionische Eisensteinreihen definiert und studiert. Wichtigstes Ziel hierbei ist die Bestimmung der Fourierentwicklung der Eisensteinreihen. Tatsächlich sind Quaternionische Eisensteinreihen Quaternionische Maaß-Lifts zum trivialen Charakter. Um dies zu zeigen, wird der Begriff der Quaternionischen Hecke-Operatoren benötigt. Es wird ausgearbeitet wie die speziellen Hecke-Operatoren $mathcal{T}_2(p)$ auf Quaternionische Maaß-Lifts zum trivialen Charakter wirken. Unter anderem wird sich zeigen, dass diese Hecke-Operatoren den Raum der Quaternionische Maaß-Lifts zum trivialen Charakter stabilisieren. In Kapitel fünf wird die Verbindung von Quaternionischen Modulformen zu speziellen Orthogonalen Modulformen aufgezeigt. Es werden allgemeine Orthogonale Modulformen eingeführt und spezielle Gitter näher betrachtet, deren zugehörige Räume von Orthogonalen Modulformen für den bereits angesprochenen Reduktionsprozess benötigt werden. Im letzten Kapitel wird dieser Reduktionsprozess vorgestellt, der das Problem der Bestimmung des graduieren Ringes der Quaternionischen Modulformen auf die Analyse von Modulformen auf Halbräumen kleinerer Dimension verlagert. Hierzu wird das wichtige Konstrukt sogenannter Borcherdsprodukten benötigt. Letztendlich wird die ursprüngliche Fragestellung auf die Betrachtung von Paramodulformen zweiten Grades der Stufe 7 zurückgeführt. Zwar kann der zugehörige graduierte Ring der Paramodulformen der Stufe 7 nicht vollständig erarbeitet werden, jedoch werden alle gefundenen Resultate zusammengetragen. Der erarbeitete Reduktionsprozess zeigt zudem auf, wie strukturelle Resultate für die Quaternionischen Modulformen gefunden werden können, sobald Ergebnisse zu den Paramodulformen vorliegen. Die Dissertation endet mit der Ausarbeitung eines maximalen Systems algebraisch unabhängiger Quaternionischer Modulformen, welche auf einen Großteil der erarbeiteten Resultate aufbaut.