Hermitesche Gitter und der Nachbarschaftsoperator

  • Hermitian lattices and the neighborhood operator

Henn, Andreas; Krieg, Aloys (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2013, 2014)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Kurzfassung

Diese Arbeit beschäftigt sich mit unimodularen geraden Gittern in euklidischen Vektorräumen, im folgenden als Thetagitter bezeichnet. Wir betrachten Gitter mit einer zusätzlichen Hermiteschen Struktur, d.h. einer Struktur als Modul über dem Ganzheitsring eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers oder einer Maximalordnung in einer definiten Quaternionenalgebra über den rationalen Zahlen. Thetagitter sind für die Theorie der Modulformen von Bedeutung, da die ihnen zugeordneten Thetareihen vom Grad n Siegelsche Modulformen für die volle Siegelsche Modulgruppe sind. Im Fall von Gittern mit einer hermiteschen Struktur kann man nun auch Thetareihen definieren, die Hermitesche bzw. quaternionische Modulformen sind. Von zentraler Bedeutung in der Theorie der Modulformen sind die sogenannten Heckeoperatoren, gewisse Endomorphismen des Vektorraums der Modulformen. Zur Klassifikation von Gittern ist vielfach das Knesersche Nachbarschaftsverfahren, eine globalen Konstruktion, die die Vervollständigungen eines Gitters nur über einer einzigen Primzahl ändert, eingesetzt worden. In Verbindung mit dem Nachbarschaftsverfahren erklärt man nun den Nachbarschaftsoperator, einen Endomorphismus des Vektorraums der formalen Linearkombinationen von Isometrieklassen von Thetagittern. Diesen Operator kann man auch als Operator auf dem von den Thetareihen vom Grad n der betrachteten Gitter aufgespannten Vektorraum betrachten. Es folgt aus Formeln für die Wirkung von Heckeoperatoren auf Thetareihen, dass dieser Operator ein Heckeoperator ist. Hier sollen entsprechende Resultate im Hermiteschen und quaternionischen Fall hergeleitet werden, allerdings nur im Fall der vollen Modulgruppe. Wir beschreiben nun ausführlicher den Inhalt der vorliegenden Arbeit. Im ersten Kapitel werden zunächst die grundlegenden Aspekte der Theorie der Gitter mit hermitescher Struktur zusammengestellt. Dann befassen wir uns mit den drei euklidischen Maximalordnungen $mathcal M_{infty,2}$, $mathcal M_{infty,3}$ und $mathcal M_{infty,5}$ in den Quaternionenalgebren $mathbb Q_{infty,2}$, $mathbb Q_{infty,3}$ bzw. $mathbb Q_{infty,5}$, die im folgenden von Interesse sein werden. Im Hinblick auf die Klassifikation der Thetagitter mit einer hermiteschen Struktur über diesen Ordnungen leiten wir als nächstes eine Maßformel für diese Gitter her, und zwar allgemein für Maximalordnungen in definiten Quaternionenalgebren über den rationalen Zahlen (auch mit Klassenzahl größer als 1). Diese Maßformel genügt bereits, um zu zeigen, dass es bis auf Isometrie über $mathcal M_{infty,3}$ genau ein Thetagitter vom Rang 2 und genau zwei vom Rang 4 gibt. Die Thetagitter vom Rang 6 über $mathcal M_{infty,3}$ lassen sich mithilfe von Untersuchungen der Automorphismengruppen der bekannten Niemeier-Gitter bestimmen. Hier gibt es bis auf Isometrie sechs Thetagitter. Im Fall der Thetagitter vom Rang 8 über $mathcal M_{infty,3}$ haben wir mit dem Kneserschen Nachbarschaftsverfahren die Klassifikation durchgeführt. Wir behandeln zunächst die theoretischen Grundlagen dieses Verfahrens, dann beschreiben wir den entsprechenden Algorithmus, den wir in Magma implementiert haben. Wir finden 83 Isometrieklassen von Thetagittern. Mit derselben Methode haben wir auch die Thetagitter über $mathcal M_{infty,5}$ vom Rang 2, 4 und 6 bestimmt. Hier gibt es ein Thetagitter vom Rang 2, zwei vom Rang 4 und 21 vom Rang 6; die Klassifikation in Rang 8 ist hier außer Reichweite. Anschließend gehen wir in diesem Kapitel noch auf die Definition und die Berechnung des Nachbarschaftsoperators ein. Das folgende Kapitel beschäftigt sich mit Hermiteschen und quaternionischen Modulformen und Heckeoperatoren, wobei wir uns auf den Fall der Klassenzahl 1 beschränken. Nach einer Einführung in die Grundlagen der jeweiligen Theorie bestimmen wir jeweils die Wirkung eines konkreten Heckeoperators auf die Thetareihen von Thetagittern und zeigen so, dass der Nachbarschaftsoperator auf dem von den Thetareihen aufgespannten Vektorraum einem Heckeoperator entspricht. Wir kombinieren dabei Methoden von A. Krieg und E. Freitag aus dem Siegelschen Fall. Weiterhin machen wir Gebrauch von dem Vertauschungsgesetz der Heckeoperatoren mit dem Siegelschen $Phi$-Operator. Da Heckeoperatoren normal bezüglich des Peterson-Skalarprodukts sind, gibt es eine Basis aus Eigenformen des Nachbarschaftsoperators. Im dritten und letzten Kapitel bestimmen wir in einigen Fällen die Filtration der zugehörigen Linearkombinationen von Thetareihen und damit die Dimension der von Thetareihen aufgespannten Vektorräume, indem wir mit Magma Fourierkoeffizienten dieser Eigenformen berechnen. An dieses Kapitel schließen sich zwei Anhänge an. Im ersten sind Grammatrizen für die gefundenen Gitter zusammengestellt, im zweiten ist der Magma-Code für unsere Implementierung des Nachbarschaftsverfahrens enthalten.

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