Noncommutative computer algebra with applications in algebraic analysis

  • Nichtkommutative Computeralgebra mit Anwendungen in algebraischer Analysis

Andres, Wolf Daniel; Zerz, Eva (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2013, 2014)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Kurzfassung

Nach einer sorgfältigen Einführung in die (nichtkommutative) Computeralgebra präsentieren wir einen Algorithmus für die Elimination von Variablen in beliebigen G-Algebren mittels Gröbnerbasen, falls das Eliminationslemma anwendbar ist. Mit diesem Algorithmus automatisieren wir den Vorgang, eine notwendige Eigenschaft einer Unteralgebra zu überprüfen, eine Eliminationsordnung zu finden, die Berechnung der Gröbnerbasis durchzuführen und das Ergebnis mit der Unteralgebra zu schneiden. Dann wenden wir den Algorithmus auf die Berechnung von Urbildern von (Links-)Idealen unter Homomorphismen von G-Algebren an, was auf eine Verbesserung von Levandovskyys Zugang führt. Zudem verallgemeinern wir eine Idee von Noro, um das Problem der Berechnung des Schnittes eines Ideals in einer Ore-Lokalisierung einer G-Algebra mit einer Hauptunteralgebra zu lösen, vorausgesetzt, dass die Nichttrivialität des Schnittes bereits a priori bekannt ist. Des Weiteren untersuchen wir die nullte graduierte Komponente von Kashiwaras und Malgranges V-Filtrierung der n-ten Weyl-Algebra. Wir zeigen, dass unter der Voraussetzung, dass der betrachtete Gewichtsvektor identische Einträge besitzt, diese Komponente (aufgefasst als Algebra) isomorph zu einem Quotienten der universell einhüllenden Algebra der allgemeinen linearen Lie-Algebra ist und bestimmen explizit ein Erzeugendensystem des entsprechenden Ideals. Ebenfalls ermitteln wir die Gel'fand-Kirillov-Dimension der nullten graduierten Komponente durch zwei unterschiedliche Methoden, eine computeralgebraische und eine ringtheoretische. Danach diskutieren wir Operatoren, die Bernsteins Funktionalgleichung erfüllen, und leiten ein notwendiges, rein kommutatives Kriterium für die Existenz eines Bernstein-Operators einer gegebenen Ordnung her. Wir geben eine neue Methode zur Berechnung von Bernstein-Daten an und verbessern diese. Im Unterschied zu den bereits existierenden Ansätzen stützt sich diese Methode nur auf die Berechnung von Standardbasen in kommutativen Ringen. Weiter benötigen wir nur ungefähr der Hälfte der Anzahl der Variablen im Vergleich zu den bekannten Algorithmen und reduzieren daher drastisch die theoretische Komplexität der Berechnung des Bernstein-Sato-Polynoms. Zudem ist es uns möglich, die globale und lokale Situation nahezu identisch zu behandeln. Eine Abwandlung unseres Ansatzes zur Berechnung von Bernstein-Daten liefert eine Methode zur Berechnung s-parametrischer Annihilatoren bis zu einer spezifizierten Ordnung. Eine andere Modifikation ermöglicht, den kompletten Turm von Annihilatoren bis zu einer gegebenen Ordnung zu berechnen. Diese beiden Algorithmen arbeiten ebenfalls über kommutativen Polynomringen. Ferner geben wir eine allgemeine Idee für einen Beweis einer Vermutung von Ucha-Enriquez an und schließen die Lücke im Beweis für einen Spezialfall mittels elementarer Mittel. Wir unternehmen auch einen Schritt in Richtung eines allgemeinen Beweises durch die Formulierung (und den Beweis) einer allgemeinen Formel für die Wirkung eines Differentialoperators mit polynomiellen Koeffizienten auf Produkte von symbolischen Potenzen von Polynomen. Durch die Anwendung unserer Ergebnisse für die nullte graduierte Komponente der V-Filtrierung erhalten wir ein verbessertes Modell für D-Moduln affiner algebraischer Varietäten, welches wiederum die theoretische Komplexität der bekannten Ansätze reduziert. Schließlich benutzen wir Tsais Algorithmus zur Berechnung des Weyl-Abschlusses, um einen neuen Algorithmus zur Berechnung von vollen s-parametrischen Annihilatoren zu konstruieren. Genauso erhalten wir einen Algorithmus zur Berechnung des Annihilators der Exponentialfunktion des Inversen eines Polynoms, welcher bislang die einzige bekannte allgemeine Methode für dieses Problem zu sein scheint.

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