Reduktion und asymptotische Reduktion von Reaktionsgleichungen

Goeke, Alexandra; Walcher, Sebastian (Thesis advisor)

Aachen (2013)
Doktorarbeit

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit werden vor allem gewöhnliche Differentialgleichungen betrachtet, die chemische Reaktionen mit Massenwirkungskinetik modellieren. Das hauptsächliche Interesse liegt bei dem Phänomen der Quasistationarität, seiner mathematischen Beschreibung und Analyse. Ein verbreiteter Ansatz, Quasistationarität chemischer Größen zu untersuchen, ist die Anwendung der Reduktionstheorie von Tikhonov und Fenichel für singuläre Störungsprobleme. Eine unmittelbare Anwendung des Reduktionssatzes von Tikhonov ist im Allgemeinen nicht möglich. Basierend auf geometrischen Interpretationen von Fenichel, nutzen Nöthen und Walcher Projektionseigenschaften reduzierter Gleichungen, um diese direkt, ohne Kenntnis einer von Tikhonov vorausgesetzten Standardform, zu bestimmen. Der Projektionsvorschrift fehlt eine praktikable Herangehensweise, was Gegenstand dieser Arbeit ist. Für Systeme mit rationaler rechter Seite, insbesondere für Reaktionsgleichungen, wird in Kapitel 2 ein algorithmischer Zugang für reduzierte Gleichungen entwickelt, welcher im Wesentlichen auf einer geeigneten lokalen Beschreibung einer Slow Manifold beruht. Es wird eine Produktzerlegung des schnellen Teilsystems konstruiert, auf deren Grundlage eine geschlossene Reduktionsformel für die Tikhonov-Fenichel-Reduktion, bestehend aus elementaren algebraischen Operationen, angegeben wird. Im Kontext schneller und langsamer Reaktionen bestimmt die stöchiometrische Matrix des schnellen Systems eine kanonische Zerlegung. Die Reduktionsformel wird ergänzt um die Angabe lokal eindeutiger Anfangswerte des reduzierten Systems auf der Slow Manifold. Da diese im Allgemeinen nicht exakt bestimmbar sind, wird eine Iterationsvorschrift für approximierte Werte entwickelt. Eine breite Anwendungsklasse bilden enzymkinetische Reaktionen mit quasistationären Zwischenprodukten, deren Gleichungen auf einen affinen Teilraum reduziert werden. Die Struktur der Slow Manifold bewirkt eine Vereinfachung der Reduktionsformel, wie in Kapitel 4 gezeigt wird. Eine spezielle Folgerung erlaubt es, einer in biologischer wie chemischer Literatur verbreiteten Ad-hoc-Methode einen Gültigkeitsbereich zuzuordnen. Im Unterschied zu bekannten Reduktionsformeln in der Literatur nutzt der Zugang in Kapitel 2 weder eine explizite Transformation des Systems in eine Tikhonov-Standardform noch eine Parametrisierung der Slow Manifold, was praktische Rechnungen oft erst ermöglicht. Die Existenzbedingungen einer Tikhonov-Fenichel-Reduktion vorausgesetzt, ermöglicht die neue Herangehensweise die explizite Berechnung reduzierter Gleichungen für beliebige rationale Systeme. Anwendungen in Kapitel 5 und 6 umfassen Verallgemeinerungen und Korrekturen von QSS-Reduktionen einer Reihe interessanter Reaktionssysteme. Insbesondere können reversible Modellerweiterungen und höherdimensionale Systeme reduziert werden. Kapitel 7 beinhaltet Reaktions-Diffusionssysteme, für deren räumliche Diskretisierung eine Tikhonov-Fenichel-Reduktion berechnet wird. Dies liefert eine Heuristik, um Kandidaten für reduzierte partielle Differentialgleichungen zu bestimmen. Da in der Literatur kein Gegenstück zur Tikhonov-Fenichel-Reduktion für partielle Differentialgleichungssysteme existiert, stellt bereits das Bestimmen von möglichen reduzierten Gleichungen ein nicht triviales Problem dar. Ein grundlegendes Resultat von Teil II der Arbeit ist die systematische Bestimmung aller Möglichkeiten für eine Tikhonov-Fenichel-Reduktion eines parameterabhängigen Systems. Tikhonov-Parameterwerte werden dadurch charakterisiert, dass die Sätze von Tikhonov bzw Fenichel für kleine Störungen in jeder vorgegebenen Richtung im Parameterraum gelten. Für starke Tikhonov-Parameterwerte wird zusätzlich die Attraktivität einer Slow Manifold gefordert. Ausgehend von den mathematischen Voraussetzungen des Tikhonov-Fenichel-Formalismus erhält man ein exaktes Kriterium, welches die Bestimmung von Tikhonov-Parameterwerten für Methoden der algorithmischen Algebra zugänglich macht. Unter anderem werden für die Gleichungen der klassischen irreversiblen und reversiblen Michaelis-Menten Reaktion alle Tikhonov-Parameterwerte bestimmt. Speziell gibt es im irreversiblen Michaelis-Menten-Modell keine Tikhonov-Fenichel-Reduktionen mit kleinem Parameter außer die in der Literatur bekannten. Bezüglich der Struktur wird gezeigt, dass die starken Tikhonov-Parameterwerte eines Systems eine semi-algebraische Menge bilden. Für kompliziertere Systeme können notwendige Bedingungen einfach ausgewertet werden. Einfache Berechnungen für die Anwendungen in Kapitel 9 zeigen, dass nur eine überschaubare Anzahl an Reduktionen möglich ist, abgesehen von lösungserhaltenden Transformationen.

Identifikationsnummern