Divergence measures for generalized order statistics

• Divergenzmaße für verallgemeinerte Ordnungsstatistiken

Vuong, Quan Nhon; Kamps, Udo (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2012, 2013)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Kurzfassung

Die Dissertation beschäftigt sich mit der Quantifizierung der Unterscheidbarkeit verschiedener Modelle für geordnete Zufallsvariablen. Dazu werden verallgemeinerte Ordnungsstatistiken betrachtet, mit denen man durch geeignete Parameterwahl jeweils verschiedene solcher Modelle beschreiben kann (z. B. gewöhnliche Ordnungsstatistiken, sequentielle Ordnungsstatistiken, Rekorde, Pfeifer Rekorde oder progressiv Typ-II zensierte Ordnungsstatistiken). Für diese verallgemeinerten Ordnungsstatistiken werden Formeln für verschiedene Abstände in Form von Divergenz- und Distanzmaßen (z. B. Kullback-Leibler-Divergenz, Jeffreys-Distanz, Hellinger-Distanz) hergeleitet. Mit diesen kann man für konkrete Parameterwahlen im Modell den Unterschied zwischen den zugehörigen Verteilungen quantifizieren. Für die Herleitung der Formeln wird die Exponentialfamilienstruktur der Verteilungen von verallgemeinerten Ordnungsstatistiken ausgenutzt. Mit Hilfe der expliziten Darstellungen der Divergenz- und Distanzmaße, die einige bemerkenswerte Eigenschaften gemeinsam haben, werden Beziehungen zwischen verschiedenen Modellen aufgedeckt und benannt. Beispielsweise werden zur Berechnung der betrachteten Abstände nur die komponentenweisen Quotienten der Modellparameter zu den entsprechenden Verteilungen benötigt, was etwa zu strukturellen Parallelen zwischen Modellen von sequentiellen Ordnungsstatistiken und Pfeifer-Rekorden führt. Außerdem spielt die zugrundeliegende Verteilung der geordneten Zufallsvariablen keine Rolle für die Abstände. Als weitere Resultate werden Modelle von Ordnungsstatistiken mit kleinstem Abstand (bezüglich verschiedener Divergenz- und Distanzmaße) zu einem gegebenen Modell von sequentiellen Ordnungsstatistiken bestimmt und deren Eigenschaften untersucht. Damit kann eine alternative Modellierung mit gewöhnlichen Ordnungsstatistiken in Betracht gezogen werden, wenn diese gegenüber einer Modellierung mit sequentiellen Ordnungsstatistiken vorteilhaft ist. Außerdem werden verschiedene Modelle geordneter Zufallsgrößen mit ihren Parametervektoren identifiziert und als Punkte im Euklidischen Raum interpretiert und dargestellt. In diesem Zusammenhang werden auch Sphären und Kugeln bezüglich verschiedener Divergenz- und Distanzmaße untersucht. Als Beispiele für Anwendungen, die durch die expliziten Darstellungen der Divergenz- und Distanzmaße für Modelle verallgemeinerter Ordnungsstatistiken unmittelbar zur Verfügung stehen, werden mehrdimensionale Konfidenzbereiche, Homogenitätstest für t>2 Populationen sowie ein neues Punktschätzungsverfahren vorgestellt. Die impliziten Konfidenzbereiche werden anhand ihres Volumens empirisch mit Hilfe von Simulationen verglichen. Die Homogenitätstests beziehen sich auf asymptotische Tests basierend auf Divergenzmaßen für Exponentialfamilien aus der Literatur. Ein solcher Test wird an einem Beispiel für sequentielle Ordnungsstatistiken mit dem entsprechenden exakten Test verglichen. Das neue Schätzungsverfahren Equal-Distance-Estimation basiert auf dem Maximum-Likelihood-Schätzer und einer Vorschätzung, indem es gleichen Abstand des Equal-Distance-Estimators zu beidem fordert. Erste Untersuchungen für den Fall mit einem Parameter belegen, dass es Situationen gibt, in denen der Equal-Distance-Estimator sowohl der Vorschätzung als auch dem Maximum-Likelihood-Schätzer vorzuziehen ist. Eine durchgeführte Simulationsstudie deutet auf ein noch größeres Potential im Fall mit mehreren Parametern hin.