The one-shot method: function space analysis and algorithmic extension by adaptivity

  • Die One-Shot-Methode : Analysis im Funktionenraum und algorithmische Erweiterung durch Adaptivität

Kaland, Lena; Gauger, Nicolas Ralph (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2013)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Kurzfassung

Diese Arbeit befasst sich mit der funktionalanalytischen Analysis der One-Shot-Methode wie auch ihrer algorithmischen Erweiterung durch Adaptivität. Der Schwerpunkt liegt hierbei auf Optimierungsproblemen, bei denen die Nebenbedingung durch eine partielle Differentialgleichung gegeben ist. Unter der Annahme, dass die Zustandsgleichung in einer Fixpunktformulierung vorliegt, kann das Optimalitätssystem mit einer passenden adjungierten Fixpunktformulierung hergeleitet werden. Ein iterativer Prozess ergibt die One-Shot-Methode, bei der Zustand, adjungierter Zustand und Kontrolle simultan aktualisiert werden. Zunächst wird ein Überblick über die vorhandene Analysis der One-Shot-Methode im endlichdimensionalen Raum gegeben. Daraufhin wird die Methode algorithmisch durch einen zusätzlichen Adaptionsschritt erweitert. Simultan zu dem iterativen Prozess wird das Gitter verfeinert oder vergröbert. Dieses Vorgehen erfordert jedoch die Betrachtung und Konvergenzanalysis der Optimierungsmethode im Funktionenraum. Wir stellen eine Formulierung der One-Shot-Methode im Hilbertraum vor und erarbeiten eine passende Erweiterung der Konvergenzbetrachtungen aus dem endlichdimensionalen Fall. Eine erweiterte Langrange Funktion wird definiert und die Eigenschaft einer exakten Straffunktion bewiesen. Zusätzlich werden Bedingungen hergeleitet, unter denen ein Schritt der One-Shot-Methode Abstieg in der erweiterten Lagrange Funktion gewährleistet. Das Verhalten wird für unterschiedliche Modellprobleme genauer betrachtet. So vereinfacht sich die Analysis für die verteilte Steuerung des Solid Fuel Ignition Modells durch die spezielle Hilbertraumstruktur und die einfache Wahl einer Konstante als Präkonditionierer. Die Fixpunktformulierung wird daraufhin für die Betrachtung der viskosen Burgers Gleichung erweitert. Zusätzlich wird die One-Shot-Methode für die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen untersucht. Neben der verteilten Steuerung wird nun auch die Randsteuerung betrachtet. Die Fixpunktiterationen sowie der Präkonditionierer basieren auf der reduzierten SQP Methode. Durch die Vernächlässigung einiger Linearisierungsterme erhält man erneut die notwendige unabhängige Struktur der Variablen für das One-Shot-Verfahren. Alle drei Modellprobleme werden mittels Finiter-Elemente-Methode diskretisiert und numerisch untersucht. Für das Solid Fuel Ignition Modell und die viskose Burgers Gleichung wird das numerische Verhalten für diverse präkonditionierende Konstanten sowie Regularisierungsparameter analysiert. Die One-Shot-Methode weist ein deutliches gitterunabhängiges Verhalten auf. Dementsprechend verändert sich die Anzahl an Iterationen für eine Optimierung bei Änderung der Freiheitsgrade nicht wesentlich. Daraufhin wird ein zusätzlicher Adaptionsschritt in den Algorithmus eingebaut und die Lösungen auf dem adaptiv verfeinerten Gitter präsentiert. Auch für die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen entwickelt die One-Shot-Methode im Falle des Lid Driven Cavity Problems ein gitterunabhängiges Verhalten. Letztlich wird das Verfahren in der Formoptimierung für ein optimales Tragflügelprofil angewendet. Die Zustandsgleichungen sind hierbei durch die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen gegeben. Zunächst werden die wesentlichen Schritte des gegebenen Simulationsprogramms PADGE erläutert. Dies umfasst die Diskretisierung mittels diskontinuierlicher Galerkin-Methode sowie die Beschreibung der adjungierten Navier-Stokes Gleichungen. Eine adjungierte Iteration wird hergeleitet und die Berechnung der Formableitung vorgestellt. Schließlich wird die adaptive One-Shot-Methode für die Widerstandsminimierung bei einem NACA0012 Profil getestet.

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