Dual strongly perfect lattices

• Dual stark perfekte Gitter

Nossek, Elisabeth; Nebe, Gabriele (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2013)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Kurzfassung

Die Bestimmung der dichtesten Kugelpackung in jeder gegebenen Dimension ist ein klassisches Problem der Mathematik. In Dimension 3 ist dies die bekannte Keplervermutung, die erst 1998 von Thomas Hales bewiesen wurde. Unter der zusätzlichen Annahme, dass die Mittelpunkte der Kugeln eine Gruppe bilden, ein sogenanntes Gitter, wird das Problem wesentlich vereinfacht. Schon 1908 hat Voronoi einen Algorithmus entwickelt, der alle lokal dichtesten Gitter auflistet, dessen Komplexität aber nur einen Anwendung bis Dimension 8 zulässt. Daher sind die dichtesten gitterförmigen Kugelpackungen bis zur Dimension 8 bekannt und, nur wegen der Existenz des besonders dichten Leech-Gitters, auch in Dimension 24. Venkov brachte spezielle lokal dichteste Gitter mit dem kombinatorischen Konzept der sphärischen Designs, das 1977 von Delsarte, Goethals und Seidel entwickelt wurde, in Verbindung. Ein Gitter L heisst danach stark perfekt, wenn seine kürzesten Vektoren ein sphärisches 5-Design bilden. Wie Venkov zeigt, sind stark perfekte Gitter lokale Maxima der Dichtefunktion. Beispiele für stark perfekte Gitter sind das oben erwähnte Leech-Gitter, das Barnes-Wall-Gitter und die dichtesten Gitter in Dimension 2, 4, 6, 7, 8. G. Nebe und B. Venkov haben die stark perfekten Gitter bis Dimension 12 vollständig klassifiziert. Für fast alle bekannten stark perfekten Gitter gilt, dass auch ihr duales Gitter stark perfekt ist, diese Gitter heißen dual stark perfekt. In Dimension 14 gibt es genau ein dual stark perfektes Gitter, wie Nebe und Venkov gezeigt haben. Diese Dissertation führt die Klassifikation dual stark perfekter Gitter fort und zeigt, dass in Dimension 13 und 15 keine dual stark perfekten Gitter existieren. Die neu entwickelten Methoden erlauben auch einen kürzeren Klassifikationsbeweis für Dimension 14, reichen jedoch nicht aus, um die Klassifikation in Dimension 16 zu erhalten. In Dimension 17 gelingt der Nichtexistenzbeweis unter der zusätzlichen Annahme, dass die Gitter L universal stark perfekt sind, also jede nicht leere Schicht des Gitters ein sphärisches 5-Design bildet. Diese Eigenschaft ist äquivalent dazu dass die Theta-Reihe des Gitters mit harmonischen Koeffizienten p bis zum Grad 5 verschwindet. Mit der Theta-Transformationsformel ergibt sich, dass auch das duale Gitter von L universal perfekt ist. Somit sind universal perfekte Gitter insbesondere auch dual stark perfekt.