The level set method for capturing interfaces with applications in two-phase flow problems

Aachen / Publikationsserver der RWTH Aachen University (2013) [Doktorarbeit]

Seite(n): 174 S. : Ill., graph. Darst.

Kurzfassung

Bewegte Phasengrenzen treten in vielen wissenschaftlichen und ingenieurwissenschaftlichen Problemen auf. Zu Beispiel ist die Phasengrenze in Verbrennungsproblemen die Grenze zwischen verbrannten und nicht-verbrannten Regionen, und in Multi-Phasen-Strömungsproblemen ist die Phasengrenze die Grenze zwischen nicht-mischbaren Fluiden. Es gibt viele Methoden eine Phasengrenze zu bestimmen. In dieser Doktorarbeit liegt der Schwerpunkt auf der so genannten Levelset-Methode. In einer Levelset-Methode wird die Phasengrenze implizit als Nulllevel der so genannten Levelset-Funktion definiert. Die Bewegung der Phasengrenze ist implizit durch die Bewegung der Levelset-Funktion, die durch die so genannten Levelset-Gleichung beschrieben wird, gegeben. Dieser Ansatz macht die Methode robust gegen topologische Änderungen der Phasengrenze. Trotz des Nachteils, dass sie oft unter Masseverlusten, die durch die numerischen Diskretisierungsverfahren verursacht werden, leidet, ist die Levelset-Methode eine gängige Methode in der numerischen Strömungsdynamik. Es gibt viele Ansätze die Levelset-Gleichung numerisch zu lösen. Zum Beispiel werden Finite-Differenzen-Methoden wie ENO- und WENO-Verfahren häufig benutzt. Auch Diskretisierungen der Levelset-Gleichung mittels Finite-Volumen-Verfahren oder Finite-Elemente-Methoden sind in der Literatur vorhanden. In dieser Doktorarbeit legen wir das Augenmerk auf die örtliche Diskretisierung der Levelset-Gleichung mit Finite-Elemente-Methoden kombiniert mit einem Zeitschrittverfahren. D.h. wir benutzten die Methode der Linien. Zuerst wird also die örtliche Diskretisierung der Levelset-Gleichung durchgeführt und anschließend das so entstandene System gewöhnlicher Differentialgleichungen mittels eines Zeitschrittverfahrens diskretisiert. Das Ziel ist es zwei verschiedene örtliche Finite-Elemente-Diskretisierungsmethoden zu vergleichen. Die erste Methode, die Streamline-Upwind-Petrov-Galerkin (SUPG) Methode, basiert auf stetigen Finiten Elementen und ist eine bekannte stabilisierte Finite-Elemente-Methode. Eine Analyse der SUPG-Methode angewandt auf die Levelset-Gleichung ist in der neueren Literatur vorhanden [Burman2009]. Die zweite Methode ist eine Discontinuous Galerkin (DG) Methode mit UpWind-Fluss. In dieser Methode werden Unstetigkeiten der Finite-Elemente-Funktion an den Elementgrenzen zugelassen. DG-Methoden wurden bereits für die örtliche Diskretisierung der Levelset-Gleichung benutzt. In dieser Doktorarbeit präsentieren wir eine Analyse der DG-Methode mit UpWind-Fluss angewandt zur örtlichen Diskretisierung der Levelset-Gleichung auf einem beschränkten Gebiet in $R^d$, $d=2,3$, kombiniert mit dem Crank-Nicolson-Verfahren für die Zeitdiskretisierung. Unseres Wissens gibt es bisher keine Literatur zu diesem speziellen Problem. Da das Ziel der Levelset-Methode die Bestimmung der bewegten Phasengrenze ist, ist der Fehler zwischen der exakten Phasengrenze und der approximativen Phasengrenze eine wichtige Größe. Für beide Methoden wird eine Fehlerschranke hergeleitet. Eine zweite wichtige Größe in Bezug auf die Levelset-Methode ist das Volumen, das von der Phasengrenze eingeschlossen wird. Im Fall der SUPG-Methode leiten wir auch eine Fehlerschranke für den Volumenfehler her. Die SUPG-Methode und die DG-Methode werden systematisch bezüglich der theoretischen Fehlerschranken und experimentellen Ergebnissen verglichen. Die theoretischen Fehlerschranken haben die gleiche Ordnung. Allerdings sind die gemessenen Fehler und die Ordnungen in numerischen Experimenten unterschiedlich. Ein signifikanter Unterschied zwischen den beiden Methoden ist die Anzahl der Unbekannten. Um eine Aussage treffen zu können, vergleichen wir die gemessenen Fehler relativ zu der Anzahl der Unbekannten. Bezüglich dieses Kriteriums erzielt die SUPG-Methode in den meisten Testfällen etwas bessere Ergebnisse. Des weiteren werden beide Methoden benutzt um die Phasengrenze in einer Zwei-Phasen-Strömungssimulation eines aufsteigenden Butanoltropfens in Wasser zu bestimmen. Dafür wurden beide Methoden in den Zwei-Phasen-Strömungslöser DROPS, der am Lehrstuhl für Numerische Mathematik der RWTH-Aachen entwickelt wird, implementiert. Wir vergleichen die finale Aufstiegsgeschwindigkeit und die Form des Tropfens. Die Ergebnisse der Simulationen mit der SUPG-Methode und der DG-Methode sind sehr ähnlich. Allerdings war es nötig die Levelset-Funktion während der Berechnung von Zeit zu Zeit zu reinitialisieren und eine Volumenkorrekturstrategie in jedem Zeit schritt zu verwenden, um physikalisch aussagekräftige Ergebnisse zu erhalten. Folglich ist ein direkter Vergleich der Ergebnisse schwierig. Wir führten die Simulationen noch ein Mal ohne Volumenkorrektur durch, um die Volumenerhaltungseigenschaften der beiden Methoden zu vergleichen. Hierbei erzielte die DG-Methode ein besseres Ergebnis.

Autorinnen und Autoren

Autorinnen und Autoren

Loch, Eva

Gutachterinnen und Gutachter

Reusken, Arnold

Identifikationsnummern

  • URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-47461
  • REPORT NUMBER: RWTH-CONV-144363