Borcherds lifts and Maaß lifts on the paramodular group of level 3

Kreuzer, Judith; Krieg, Aloys (Thesis advisor)

Aachen (2014)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Ziel dieser Arbeit ist es, eine vollständige Charakterisierung der Modulformen auf der paramodularen Gruppe Gamma_3^+ der Stufe 3 anzugeben, die Maaß Lift und Borcherds Lift zugleich sind. Der Maaß Lift ist ein additiver Lift, der eine Fourier-Entwicklung der Modulform liefert. Zudem erfüllen die Fourier-Koeffizienten eine gewisse Relation. Im Gegensatz dazu liefert der Borcherds Lift eine Produkt-Entwicklung der Modulform. Somit ist dieser Lift multiplikativ und eine Bestimmung der Divisoren dieses Lifts ist gut möglich. Durch die jeweilige Konstruktion der Lifts sind einige Eigenschaften einer Modulform, die man über einen Maaß Lift oder Borcherds Lift erhält, bereits bekannt. Da diese Eigenschaften sich aber stark in ihrer Struktur unterscheiden, ist es schwierig diese beiden Lifts miteinander zu vergleichen. Die Frage, ob eine Modulform Maaß Lift und Borcherds Lift zugleich ist, wurde bislang kaum untersucht. Eine erste systematische Untersuchung gab es von B. Heim und A. Murase im Fall der Siegelschen Modulformen vom Grad 2 ohne Charakter. Bei der Beantwortung der Frage nach simultanen Lifts zur paramodularen Gruppe der Stufe 3 stellte sich heraus, dass der dort geführte Beweis sich nicht auf den paramodularen Fall übertragen lässt. Daher wurde ein neuer Beweis entwickelt. Dieser neue Beweis wird zunächst bei der Betrachtung des Falls Siegelscher Modulformen mit Charakter vorgestellt. Anschließend wird die gleiche Argumentationskette auf den paramodularen Fall angewendet. Ein wichtiger Schritt in der Beschreibung der simultanen Lifts besteht darin, Eigenschaften der Maaß Lifts und Borcherds Lifts auf der paramodularen Gruppe Gamma_3^+ zu bestimmen. Es stellt sich heraus, dass diese Eigenschaften an sich schon interessant sind. Beispielsweise kann ein Maaß Lift auf Gamma_3^+ nur bestimmte Charaktere besitzen. Weiter kann eine Konstruktionsmethode angeben werden, mit der Borcherds Lifts zu jedem beliebig vorgegebenen Divisor bestimmt werden können. Zu diesen konstruierten Borcherds Lifts sind ferner Strukturaussagen möglich, ohne explizite Kenntnisse dieser Lifts; z.B. ob es sich um eine Spitzenform handelt oder ob die Modulform trivialen Charakter hat. Außerdem kann gezeigt werden, dass jeder Borcherds Lift auf Gamma_3^+, der eine Nicht-Spitzenform ist, trivialen Charakter haben muss. Schließlich stellt man fest, dass es - bis auf einen konstanten Faktor - genau sechs Modulformen auf Gamma_3^+ gibt, die Maaß Lifts und Borcherds Lifts zugleich sind.

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