Orlicz-Modulationsräume

Aachen / Publikationsserver der RWTH Aachen University (2014) [Doktorarbeit]

Seite(n): IX, 204 S.

Kurzfassung

In dieser Arbeit werden die Modulationsräume von gemischt-gewichteten Lebesgue-Räumen auf Modulationsräume von Orlicz-Räumen und gemischten Orlicz-Räumen erweitert sowie deren Eigenschaften analysiert. Insbesondere charakterisieren wir Einbettungen dieser Räume und beweisen Entropie-Abschätzungen für die Kurzzeit-Fouriertransformierte. Die klassischen Modulationsräume sind Banachräume von Funktionen, deren Zeit-Frequenz-Verhalten durch die Norm ihrer Kurzzeit-Fouriertransformierten quantifiziert wird. Der Modulationsraum M^{p,q} besteht aus allen temperierten Distributionen, deren Kurzzeit-Fouriertransformierte im gemischten Lebesgue-Raum L^{p,q} liegt. Diese Idee erweitern wir auf Orlicz-Räume und gemischte Orlicz-Räume. Klassische Modulationsräume lassen sich als Coorbiträume auffassen. Ebenso kann man diese Räume ohne expliziten Verweis auf diese Theorie direkt als Räume temperierter Distributionen definieren, siehe [Gröchenig, 2001]. Diese doppelte Sichtweise wird in dieser Arbeit für Orlicz-Modulationsräume systematisch entwickelt. Kapitel 1 und 3 stellen die wesentlichen Resultate aus der Zeit-Frequenz-Analyse und der Theorie der Orlicz-Räume zusammen. Definitionen und Eigenschaften von Young-Funktionen Phi und den assoziierten Orlicz-Räumen L^Phi werden erläutert und gemischte Orlicz-Räume L^{Phi_1 Phi_2} werden als Räume vektorwertiger Funktionen eingeführt. Anschließend untersuchen wir insbesondere die für die Zeit-Frequenz-Analyse und die Coorbit-Theorie benötigten Eigenschaften dieser Räume. Dabei spielt in wiederholter Weise die Delta_2-Bedingung eine zentrale Rolle. Darauf aufbauend definieren wir in Kapitel 4 die Orlicz-Modulationsräume und die gemischten Orlicz-Modulationsräume. Wir zeigen, dass die Orlicz-Modulationsräume wohldefinierte Banachräume sind, wenn die Young-Funktion und ihre komplementäre Funktion stetig sind. Eine entsprechende Aussage gilt auch für die gemischten Orlicz-Modulationsräume unter der Annahme, dass die Young-Funktionen stetig sind, die Delta_2-Bedingung erfüllen und die komplementären Funktionen ebenfalls stetig sind. Dabei werden wir einerseits die Ergebnisse der Coorbit-Theorie aus Kapitel 2 nutzen und andererseits die Beweise mittels funktional-analytischer Methoden in Anlehnung an [Gröchenig, 2001] führen. Beide Herangehensweisen erfordern die Delta_2-Bedingung, deren Rolle wir daher ausführlich in Kapitel 5 erläutern. In Abschnitt 4.5 geben wir eine Charakterisierung der Einbettungen zwischen Modulationsräumen mittels Young-Funktionen an. Desweiteren benutzen wir ein Resultat aus der Arbeit [Galperin,Gröchenig,2002] zur Herleitung von Bedingungen, unter denen eine Einbettung von Fourier-Lebesgue-Räumen in den Modulationsraum zur Young-Funktion Phi(x)=|x|^p ln(|x|+1) gegeben ist. Im letzten Kapitel beschäftigen wir uns schließlich mit dem Thema Entropie. Wir leiten hinreichende Bedingungen her, unter denen die Diskretisierung der Entropie die stetige Entropie der Kurzzeit-Fouriertransformierten approximiert, und wir beweisen neue Abschätzungen für die stetige Entropie der Kurzzeit-Fouriertransformierten einer Funktion in einem geeigneten Modulationsraum.

Autorinnen und Autoren

Autorinnen und Autoren

Schnackers, Catherine

Gutachterinnen und Gutachter

Führ, Hartmut

Identifikationsnummern

  • URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-51311
  • REPORT NUMBER: RWTH-CONV-145201