Optimal shape of a domain which minimizes the first buckling eigenvalue

  • Optimale Gestalt eines Gebiets, welches den ersten gebeulten Eigenwert minimiert

Knappmann, Kathrin; Wagner, Alfred (Thesis advisor)

Aachen (2014)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, welches Gebiet von gegebenem Volumen die Beullast einer eingeklemmten Platte minimiert. Im Rahmen dieser Arbeit beschränken wir uns dabei auf Gebiete, die in einer hinreichend großen Kugel enthalten sind. Um die Existenz eines optimalen Gebiets zu beweisen, betrachten wir das zugehörige Variationsproblem. In diesem Variationsproblem wird ein Rayleigh-Quotient in einem geeigneten Funktionenraum minimiert. Die Volumenbedingung ist dabei als Nebenbedingung formuliert. Anstatt dieses bedingte Variationsproblem zu betrachten, folgen wir einer Idee von H. W. Alt, L. A. Caffarelli und A. Friedman und führen einen Bestrafungsterm ein. Dadurch erhalten wir ein neues, bestraftes Variationsproblem, das keine Nebenbedingungen mehr enthält. Somit ist es möglich, auch nicht-volumenerhaltende Störungen zuzulassen. Die Existenz von Lösungen des bestraften Problems folgt mit der direkten Methode der Variationsrechnung. Diese Minimierer lösen die gebeulte Platten-Gleichung im Inneren ihres Trägers. Mit einer Technik, die auf C. B. Morrey zurückgeht, zeigen wir, dass die ersten Ableitungen der Lösungen des bestraften Problems Hölder-stetig sind. Anschließend beweisen wir, dass Laplace(u) für jede Lösung u des bestraften Problems fast überall gleichmäßig beschränkt ist. Mit Hilfe einer Idee von J. Frehse, L. A. Caffarelli und A. Friedman leiten wir dann die Beschränktheit aller zweiten Ableitungen von u her. Folglich sind die ersten Ableitungen der Lösungen Lipschitz-stetig. Ferner werden wir feststellen, dass die Schranke für die zweiten Ableitungen für Punkte nahe des freien Randes von der Wahl der Lösung unabhängig ist. Diese Beobachtung ermöglicht es uns zu zeigen, dass das bestrafte und das unbestrafte Problem äquivalent sind, wenn der Bestrafungsparameter unterhalb einer kritischen Größe gewählt wird. Somit erhalten wir die Existenz von Lösungen für das unbestrafte Problem. Das Innere des Trägers jeder dieser Lösungen bildet ein optimales Gebiet für die Minimierung des ersten gebeulten Platteneigenwertes. Die Lösungen selbst sind die zugehörigen Eigenfunktionen. Unter der Annahme, dass eine Verdoppelungseigenschaft erfüllt ist, zeigen wir, dass die Eigenfunktionen am Rand des zugehörigen optimalen Gebiets nicht degenerieren. Dies impliziert die Existenz einer unteren Schranke für die Dichte dieses Randes. Aufgrund der Dichteabschätzung beweisen wir, dass der Rand jedes optimalen Gebietes eine Nullmenge bezogen auf das n-dimensionale Lebesgue-Maß ist. Außerdem erhalten wir weitere qualitative Eigenschaften des freien Randes.

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