On the computation of the differential Galois group

Rettstadt, Daniel; Hartmann, Julia (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2014)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Es sei F ein Körper versehen mit einer Derivation d. Wir setzen voraus, dass der Kern von d, der Körper der sogenannten Konstanten C, algebraisch abgeschlossen ist. Ein linearer Differentialoperator über F ist ein Polynom in dem nicht-kommutativen Ring F[d]. Jeder Differentialoperator hat eine Zerlegung als Produckt irreduzibler Faktoren. Eine solche Faktorisierung ist eindeutig bis auf eine gewisse Äquivalenzrelation, die sogenannte Ähnlichkeit. Weiterhin geht jede andere Faktorisierung durch einen Vorgang, der als Vertauschung bezeichnet wird, hervor. Man kann jedem Differentialoperator L eine Differentialgleichung L(y)=0 zuordnen. Zu einem Differentialoperator L gibt es Differentialkörpererweiterungen, die n linear unabhängige Lösungen von L(y)=0 enthalten. Eine solche Erweiterung, die in einem gewissen Sinne minimal ist, nennen wir Picard-Vessiot Erweiterung. Sei K eine solche Picard-Vessiot Erweiterung, dann definieren wir die Differential-Galoisgruppe als die Gruppe der F-Automorphismen auf K, die mit der Derivation vertauschen. Die Differential-Galoisgruppe hat eine Darstellung über dem C-Vektorraum, der von den Lösungen von L(y)=0 in K aufgespannt wird. Ein erstes Resultat ist ein Algorithmus, der bestimmt, ob zwei gegebene irreduzible Differentialoperatoren vertauschen und eine Vertauschung berechnet, falls diese existiert. Als Anwendung davon kann man alle irreduziblen Faktorisierungen von Differentialoperatoren berechnen, falls diese keine ähnlichen, vertauschenden, irreduziblen Faktoren besitzen. Das Hauptresultat dieser Arbeit ist das Reduzieren des Problems der Berechnung der Differential-Galoisgruppe auf das Problem der Berechnung alle Rechtsfaktoreneines gewissen, explizit berechenbaren Differentialoperators.

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