Jacobiformen über den Cayley-Zahlen

Dieckmann, Cornelia; Krieg, Aloys (Thesis advisor)

Aachen / Publikationsserver der RWTH Aachen University (2014) [Doktorarbeit]

Seite(n): III, 388 S.

Kurzfassung

Die klassische Theorie der Jacobiformen auf (mathcal{H}_1 imes C) wurde von Eichler und Zagier systematisch beschrieben. Höherdimensionale Verallgemeinerungen dieser Jacobiformen wurden bereits von Ziegler und Gritsenko betrachtet. Sie treten in natürlicher Weise in der Fourier-Jacobi-Entwicklung von Siegelschen Modulformen auf. 1991 führten Eie und Krieg Jacobiformen auf (mathcal{H}_1 imes mathcal{C}_{C}) ein. Analog zum klassischen Fall treten auch diese als Fourier-Jacobi-Koeffizienten von Modulformen auf dem Halbraum der Cayley Zahlen vom Grad 2 auf. Dementsprechend liefert nun die Fourier-Jacobi-Entwicklung von Modulformen auf dem Cayley Halbraum vom Grad 3 Jacobiformen auf (mathcal{H}_1 imes mathcal{C}_{C}^{2}) bzw. auf (mathcal{H}(2,mathcal{C}) imes mathcal{C}_{C}^{1 imes 2}), wobei (mathcal{H}(2,mathcal{C})) den Cayley Halbraum vom Grad 2 bezeichne. Die genaue Untersuchung dieser beiden Typen von Jacobiformen ist eine der wesentlichen Bestandteile dieser Arbeit. Konkret gliedert sich diese wie folgt: Im 1. Kapitel werden die Cayley Zahlen eingeführt und ihre wichtigsten Eigenschaften angeben. Dabei berufen wir uns vor allem auf Arbeiten von Conway, Smith und Rehm. Neben den ganzen Cayley Zahlen (mathcal{O}_{mathcal{C}}) widmen wir uns dem Algorithmus zur Bestimmung aller Rechts- bzw. Linksteilern von eben solchen ganzen Cayley Zahlen. In Zusammenarbeit mit Derek Smith ist es gelungen, die Menge der Rechts- beziehungsweise Linksteiler ungerader Norm in Bezug auf ihre Kongruenzeigenschaft modulo (2mathcal{O}_{mathcal{C}}) genauer zu charakterisieren. In Kapitel 2 werden Matrizen über den Cayley Zahlen untersucht. Dabei sind vor allem hermitesche und positiv (semi)definite Matrizen von Interesse. Es wird erklärt, wie diese Begriffe im oktonionischen Fall zu interpretieren sind. Für positiv (semi)definite Matrizen gelingt es zudem einige im Verlauf der Arbeit nützliche Charakterisierungen herzuleiten. Im 3. Kapitel werden die Begriffe des Cayley Halbraums, der Modulgruppe über den Cayley Zahlen sowie der oktonionischen Modulformen eingeführt. Dabei verwenden Baily, Krieg und Walcher eine andere Definition der Modulgruppe als z.B.Eie. Wir werden zeigen, dass diese unterschiedlichen Definitionen dieselbe Gruppe beschreiben. Funktionen, die in natürlicherweise auftreten, wenn wir Jacobiformen betrachten, sind sogenannte Theta-Reihen. Um Rückschlüsse zwischen Jacobiformen und gewissen Modulformen ziehen zu können, werden diese im 4. Kapitel ausführlich behandelt. Eine interessante Frage ist dabei, wie sich Theta-Konstanten unter der Abbildung (Z mapsto Z^{tr}) verhalten. Für einige Fälle hilft dabei der in Kapitel 1 neu entwickelte Algorithmus weiter. In den übrigen Fällen kann zumindest ein einfaches Transformationsverhalten ausgeschlossen werden. Dies wiederum lässt die Frage aufkommen, wie sich die Theta-Konstanten eingeschränkt auf den Quaternionen-Halbraum verhalten. Dieser letzte Teil, welcher in Zusammenarbeit mit A. Krieg entstanden ist, wurde bereits veröffentlicht. In Kapitel 5 wird die erste Art der Jacobiformen auf (mathcal{H}_1 imes mathcal{C}^2) eingeführt, sogenannte Jacobiformen vom Gewicht (k in ) und Index R, wobei R eine hermitesche 2x2 Matrix über den ganzen Cayley Zahlen bezeichne. Wir werden sehen, dass die Fourier-Jacobi-Koeffizienten von Modulformen auf dem Cayley Halbraum vom Grad 3 Beispiele eben solcher Jacobiformen bilden. Darüberhinaus wird gezeigt, dass sich jede Jacobiform vom Gewicht k und Index R als Linearkombination von speziellen, linear unabhängigen Theta-Reihen schreiben lässt, wobei die dabei auftretenden Koeffizienten klassische Modulformen zu einer Hauptkongruenzuntergruppe von (extnormal{SL}(2,)) sind. Diese Tatsache liefert uns eine Dimensionsabschätzung für den Raum der Jacobiformen. Zum Abschluss des Kapitels geben wir weitere Beispiele für Jacobiformen vom Gewicht k und Index R an, sogenannte Jacobi-Eisensteinreihen. Im letzten Kapitel dieser Arbeit wird dann die zweite Art der Jacobiformen auf (mathcal{H}(2,mathcal{C}) imes mathcal{C}_{C}^{1 imes 2}) betrachtet, Jacobiformen vom Gewicht (k in ) und Index (m in N_0). Eie hat diese Art der Jacobiformen bereits untersucht. Wir werden zeigen, dass wir die Definition einer Jacobiform von Eie abschwächen können ohne dass die geforderten Transformationseigenschaften verloren gehen. Insbesondere zeigen wir, dass in diesem Fall der sogenannte Koecher-Effekt greift, welcher uns eine Fourier-Entwicklung über positiv semidefinite Matrizen liefert. Auch hier erhalten wir eine Darstellung als Linearkombination von speziellen Theta-Reihen, allerdings bilden die Koeffizienten dieser Darstellung nun eine vektorwertige Modulform über dem Cayley Halbraum vom Grad 2. Erneut schließen wir daraus auf einen Zusammenhang zwischen dem Raum der vektorwertigen Modulformen und Jacobiformen.

Identifikationsnummern

  • URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-52028
  • REPORT NUMBER: RWTH-CONV-145320