Stratified optimality theory : a tool for the theoretical justification of assumptions in finite-dimensional optimization

• Stratifizierte Optimalitätstheorie

Dorsch, Dominik; Günzel, Harald (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2014)
Doktorarbeit

In: Mathematik
Seite(n)/Artikel-Nr.: IX, 173 S.

Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Kurzfassung

Die Minimierung bzw. Maximierung einer Funktion unter Nebenbedingungen ist ein grundsätzliches Problem, das in vielen Wissenschaften wie Biologie, Chemie und Physik, als auch in angewandten Bereichen wie Wirtschaft, Finanzen und Technik auftritt. Somit hatte auch die systematische Untersuchung von nichtlinearen Programmen einen immensen Einfluss auf diese Disziplinen. Im Laufe der letzten Jahrzehnte wurde deutlich, dass bestimmte strukturelle Eigenschaften der Probleme aus Anwendungen es erfordern, entsprechend zugeschnittene mathematische Optimierungsklassen, die diese Eigenschaften befriedigend darstellen, zu untersuchen. Heute gibt es umfassende Theorien, die notwendige- und hinreichende Optimalitätsbedingungen für verschiedene Optimierungsklassen liefern. Darüber hinaus fasst man die Untersuchung von Optimalität im allgemeinen Sinne heute in dem Bereich "Variational Analysis" zusammen. Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Frage, ob die Annahmen, die von verschiedenen Optimalitätstheorien verlangt werden, in einem präzisen mathematischen Sinn als "mild" betrachtet werden können. Dies wird dadurch motiviert, dass es in der Praxis nicht möglich ist, Annahmen über die (noch unbekannten) Lösungen zu überprüfen; und es daher wünschenswert wäre zu gewährleisten, dass die Annahmen zumindest für eine "ausreichend" reichhaltige Teilklasse von Problemen erfüllt sind. Um die Frage zu beantworten, statten wir die gegebenen Nebenbedingungsmengen mit einer Stratifizierung, d.h. einer Partition bestehend aus Mannigfaltigkeiten, aus. Diese zusätzliche geometrische Struktur erlaubt es Ergebnisse aus der Differential-Topologie anzuwenden, wodurch wir in der Lage sind Optimalitätsbedingungen, die für eine dichte und offene Teilmenge von Probleminstanzen gelten, zu beweisen. Die vorgestellte Theorie wird mit Hilfe klassischer Objekte aus der "Variational Analysis" wie Tangential- und Normalkegeln entwickelt. Jedoch ermöglicht uns die gegebene Stratifizierung ferner, neue Objekte zu definieren, die speziell für stratifizierte Mengen zugeschnitten sind, und somit stärkere Eigenschaften haben als die klassischen Objekte. Schließlich wenden wir unsere Theorie exemplarisch auf semidefinite nichtlineare Programmierung, Mathematische Programme mit verschwindenden Nebenbedingungen und verallgemeinerte Nash-Gleichgewichts-Spiele an. Unsere geometrischen Sicht hilft uns neue Erkenntnisse über strukturelle Eigenschaften dieser besonderen Problemklassen zu gewinnen. Schließlich können wir auch neue lokale Lösungsalgorithmen mit vielversprechenden Konvergenzeigenschaften definieren.