Sequential Nonparametric Detection of High-Dimensional Signals under Dependent Noise

Prause, Annabel; Steland, Ansgar (Thesis advisor); von Sachs, Rainer (Thesis advisor); Gombay, Edit (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2015)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit sequentiellen nichtparametrischen Detektionsverfahrenfür höherdimensionale Signale, d.h. mit der Erkennung eines Change-Pointsin einem gegebenen Datensatz eines diskret abgetasteten Signals, wobei wir Störtermein Form von abhängigem Rauschen zulassen. Sie verallgemeinert damit eine Arbeit vonPawlak und Steland, in der Detektionsalgorithmen für univariate Signale untersucht wurden,in zweierlei Hinsicht: Zum einen betrachten wir vektorwertige Signale mit univariaterZeitkomponente, zum anderen reellwertige Signale mit multivariater Zeitkomponente.Kapitel 2 beschäftigt sich zunächst mit der Einführung geeigneter Funktionenräume,den sogenannten Skorohodräumen. Diese enthalten nicht nur stetige Funktionen, sondernlassen auch Funktionen mit gewissen Unstetigkeitsstellen zu und bilden damit einengeeigneten Rahmen für die in den folgenden Kapiteln vorgestellten Detektionsprozesse.Kapitel 3 beendet den einführenden Teil der Arbeit, indem wir eine kurze Zusammenfassungder wichtigsten Ergebnisse aus der Arbeit von Pawlak und Steland geben.In Kapitel 4 übertragen wir diese Ergebnisse schließlich auf den Fall vektorwertigerSignale. Hierzu leiten wir zunächst einen geeigneten multivariaten Detektionsprozess her,f¨ur den wir im Anschluss die asymptotische Verteilung unter der Nullhypothese und derAlternative bestimmen. Gilt die Nullhypothese, so bedeutet dies, dass das beobachteteSignal mit einem gegebenen Referenzsignal übereinstimmt; gilt jedoch die Alternative, sounterscheiden sich das beobachtete Signal und das Referenzsignal.Kapitel 5 dient als Einführung des multivariaten Riemann-Stieltjes-Integrals sowiezweierlei Definitionen von Funktionen beschränkter Variation in mehreren Variablen.Diese Begriffe benötigen wir für die Verallgemeinerung der Ergebnisse auf Signale mitmultivariater Zeitkomponente, welche in Kapitel 6 stattfindet. Hierbei modellieren wirdas Rauschen durch abhängige Zufallsfelder. Außerdem leiten wir wiederum die asymptotischeVerteilung sowohl unter der Nullhypothese als auch unter der Alternative her.Ein wichtiger Parameter, der in den Grenzverteilungen auftaucht, ist die asymptotischeVarianz des Zufallsfeldes, welche im Allgemeinen unbekannt ist und somit geschätzt werdenmuss. Einen geeigneten konsistenten Schätzer dafür stellen wir deshalb in Kapitel 7vor. Je nach Abhängigkeitsstruktur des zugrundeliegenden Zufallsfeldes kann die Wurzelaus der kleinstm¨oglichen mittleren quadratischen Abweichung (RMSE) aber immer nochrecht groß sein, weshalb wir einen weiteren Schätzer dieses Parameters vorschlagen, derin einigen Modellen zu einem geringeren RMSE führt.In Kapitel 8 führen wir eine ausführliche Simulationsstudie durch. Wir untersuchendabei zunächst die Güte der beiden Schätzer aus Kapitel 7 für verschiedene Abhängigkeitsmodelleder Zufallsfelder und betrachten anschließend das gesamte Detektionsverfahrenaus Kapitel 6. Hierbei untersuchen wir sowohl die Power des Algorithmus’ als auchdie Fehlerwahrscheinlichkeiten erster und zweiter Art, wobei wir für die asymptotischeVarianz teils den wahren Wert und teils die Schätzer aus Kapitel 7 verwenden.Die Arbeit endet mit Kapitel 9, wo wir weitere Verallgemeinerungen der Ergebnisseaus Kapitel 6 betrachten, welche in Zukunft noch näher untersucht werden können.

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