Geometric curvature energies : from local to global ; from discrete to smooth

• Geometrische Krümmungsenergien : von lokal zu global ; von diskret zu glatt

Scholtes, Sebastian; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2014)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit geometrischen Krümmungsenergien. Diese sind auf Kurven, oder allgemeiner metrischen Räumen, definiert und stehen in Zusammenhang mit der Krümmung dieser Objekte. Zumeist bestehen die Energien aus Doppel- oder Dreifachintegralen. Wir zeigen, daß der Grenzwert des Kehrwertes des Umkreisradius dreier Punkte, die sogenannte Menger-Krümmung, die klassische Krümmung einer glatten Kurve ergeben, falls diese Punkte gegen einen einzigen konvergieren. Weiterhin reicht die bloße Existenz dieser Krümmung, damit ein ebenes Kontinuum bereits eine glatte Kurve ist. Diese Menger Krümmung interpretieren wir sodann im Kontext einer Einbettungskrümmung und beweisen ein Analogon zu einem Satz von Wald. Das Supremum über den Umkreisradius auf einer Sphäre eines normierten Vektorraums entscheidet darüber, ob dieser Raum ein inneres Produkt besitzt. Als integrale p Menger Krümmung wird das dreifach Integral über den Kehrwert des Umkreisradius zur p-ten Potenz bezeichnet. Diese Energie sowie verschiedene verwandte Energien werden hinsichtlich der topologischen Regularität, beispielsweise Vermeidung von Verzweigungspunkten, untersucht, welche die Endlichkeit der Energie gewährleistet. Zusätzlich wird auch untersucht welche tangentiale Regularität bei endlicher Energie in jedem Punkt erwartet werden kann. Wir beweisen den Satz, daß eine geschlossene Hyperfläche positive Reichweite dann und nur dann besitzt, wenn sie von der Klasse C^{1,1} ist. Neben einer neuen Charakterisierung von Mengen mit positiver Reichweite, welche alternierende Steiner-Formeln involviert, verwenden wir diese Resultate um eine bereits bekannte Lösung eines Problems von Hadwiger in einem neuen Licht erscheinen zu lassen. Der letzte Teil der vorliegenden Arbeit widmet sich diskreten Versionen der integralen Menger Krümmung, der Dicke und der Möbius Energie, einem Doppelintegral über die Differenz zwischen den quadrierten Kehrwerten von extrinsischer und intrinsischer Distanz zweier Punkte einer Kurve. Diese diskreten Krümmungsenergien sind definiert auf gleichseitigen Polygonen der Länge 1 mit n Segmenten und wir beweisen Gamma-Konvergenz Resultate. Unter zusätzlichen Annahmen zeigt dies auch direkt die Konvergenz von (fast) Minimierern der diskreten Energien in einer festgewählten Knotenklasse gegen Minimierer der Grenzenergie in derselben Knotenklasse. Weiterhin beweisen wir, daß der absolute Minimierer von diskreter Dicke und diskreter Möbius Energie jeweils das regelmäßige n-gon ist.