Pullback theory for functions of lattice-index and applications to Jacobi and modular forms

Dieckmann, Till; Krieg, Aloys (Thesis advisor); Heim, Bernhard (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2015)
Doktorarbeit

Kurzfassung

In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir holomorphe Funktionen, welche eine gewisse Invarianzeigenschaft elliptischen Typs bezüglich eines Gitters $\underline{L}$ besitzen. Das Hauptaugenmerk liegt auf dem Studium von strukturerhaltenden Abbildungen zwischen diesen Klassen von Funktionen, welche durch Einbettungen von Gittern bewirkt werden, so genannte Pullback-Operatoren. Kapitel eins dient der Bereitstellung von Standardkonzepten und Begrifflichkeiten der Gittertheorie. Die Theorie der Einbettungen von Gittern wird entwickelt. Als Beispiel konstruieren wir einige irreduzible Wurzelgitter, genauer $\underline{E_8},\underline{E_7}, \underline{E_6}, \underline{D_4}, \underline{A_2}$ und $\underline{A_1}$ in einer Realisierung welche für spätere Zwecke nützlich sein wird. In Kapitel zwei führen wir elliptische Funktionen von gitterwertigem Index ein. Um für diese Klasse einen Begriff der Beschränktheit bereitzustellen, führen wir Regularitäts- und Spitzenbedingungen ein. Die metaplektische Gruppe spiegelt die modulare Operation auf dem Raum $\mathcal E^{(n)}(\underline{L})$ der invarianten Funktionen von Grad n und Index $\underline{L}$ wieder. Diese Operation induziert eine gewisse Darstellung, die sogenannte Weil-Darstellung, auf dem Raum von Jacobi Thetafunktionen welche zum Gitter $\underline{L}$ assoziiert sind. Wir schließen das Kapitel mit der Berechnung einiger Determinantencharaktere von Weil-Darstellungen von Grad 1 bezüglich einiger Gitter kleineren Ranges. Eine detaillierte Analyse von Pullback-Operatoren zwischen elliptischen Funktionen von gitterwertigem Index ist Gegenstand von Kapitel drei. Diese Abbildungen erhalten die Regularitäts- und Spitzenbedingungen. Es stellt sich in natürlicher Weise die Frage, in welchen Fällen der Pullback-Operator ein Isomorphismus sein kann. Hierzu nehmen wir einen algebraischen Standpunkt ein und betrachten den Pullback-Operator als Homomorphismus freier Moduln. Wir wenden Methoden der linearen Algebra an und betrachten seine Abbildungsmatrix, den sogenannten automorphen Transfer, und seine Determinante, vorausgesetzt diese existiert. Letztere stellt sich als Siegelsche Modulform heraus. Wir erhalten ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für die Existenz solcher Isomorphismen. Überraschenderweise treten diese ausschließlich im Fall $n=1$ auf. Als Nebenprodukt der entwickelten Theorie folgern wir die Existenz einer unendlichen Familie nichttrivialer Siegelscher Spitzenformen, welche einer bemerkenswerten Rekursionsidentität genügt. Schließlich berechnen wir noch den automorphen Transfer und seine Determinante explizit im Fall $n=1$ für einige Gitter kleineren Ranges. In Kapitel vier nutzen wir diese Ergebnisse um explizite Isomorphismen von Räumen von Jacobi-Formen zu konstruieren, deren Existenz schon teilweise bekannt war. Hier stellen wir eine Methode bereit, um Jacobi-Formen von niederrangigem Index zu höherrangigem Index mittels Matrix-Vektormultiplikation bezüglich des zugrundeliegenden Raumes von vektorwertigen Modulformen zu liften. Von Kapitel fünf an richten wir unsere Aufmerksamkeit auf Modulformen und diskutieren ein auf G. Köhler zurückgehendes Problem bezüglich Einbettungen paramodularer Gruppen in Modulgruppen über Ordnungen. Wir erweitern seine Methoden auf nichtkommutative Ordnungen und entwickeln einen Äquivalenzbegriff um substantiell verschiedene Einbettungen zu trennen. Wir bestimmen die Operation der maximal-diskreten Erweiterung der paramodularen Gruppe auf der Menge der modularen Einbettungen. Am Ende entwickeln wir noch eine Pullback-Theorie, welche Modulformen in Paramodulformen überführt und die kompatibel mit der Äquivalenzrelation ist. Das sechste und letzte Kapitel wird von der Frage geleitet, in welchem Grad eine modulare Einbettung durch die Familie ihrer induzierten Paramodulformen bestimmt ist. Schon im Fall $n=2$ ist die Äquivalenzrelation zu restriktiv. Um dies zu berücksichtigen entwickeln wir einen Äquivalenzbegriff im erweiterten Sinne. Wir behandeln die Ausgangsfragestellung auf der Grundlage von hermiteschen und quaternionischen Jacobi-Formen und können das Problem zumindest für einige Ordnungen und unter geeigneten Annahmen an die Polarisierung lösen.

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