Robin boundary conditions in shape optimization

• Robin-Randbedingungen in der Gestaltsoptimierung

Deipenbrock, Matthias; Wagner, Alfred (Thesis advisor); von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2015)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der Existenz optimaler Gebiete für Gebietsfunktionale unter Beachtung von Robin Randwerten. Wir behandeln sowohl den Fall positiver, als auch den Fall negativer Robin Parameter.Im Fall positiver Robin Parameter beweisen wir die Existenz eines minimalen Gebietes in der Klasse der Lipschitz Gebiete mit vorgegebenem Maß, die gleichmäßige Fortsetzungsgebiete sind. Neben dem linearen Eigenwertfall betrachten wir Rayleigh Quotienten, die mit dem Sobolev Einbettungssatz in Verbindung stehen und zeigen die Existenz minimaler Gebiete bis zum kritischen Exponenten. Anschließend zeigen wir, dass die Volumenbedingung durch eine Bedingung an das Oberflächenmaß ersetzt werden kann. Im Fall negativer Robin Parameter schränken wir die Klasse der Gebiete ein. Wir betrachten nur Gebiete, die sternförmig bezüglich einer festen Kugel sind. Somit geben wir die Topologie der Gebiete vor und schließen dadurch kürzlich gefundende Gegenbeispiele zur umgekehrten Faber-Krahn Ungleichung aus. Durch eine gleichmäßige Spurungleichung sind wir in der Lage die Existenz eines maximalen Gebietes für den ersten Robin Eigenwert zu beweisen. Anschließend zeigen wir einen weiteren Existenzsatz in der Klasse schalenförmiger Gebiete. Darüber hinaus beweisen wir Existenzsätze in einer glatteren Situation. Dazu verwenden wir eine Schranke für die mittlere Krümmung der Gebiete, um die Kompaktheit der Klasse von Gebieten bezüglich der stärkeren Topologie zu erhalten. Aufgrund der glatteren Rahmenbedingungen sind wir in der Lage weitere Regularitätseigenschaften optimaler Gebiete zu diskutieren.