Rekonstruktion von 3D-Punkten aus Kamerabildern : eine anwendungsgeleitete Lernumgebung an der Schnittstelle von analytischer Geometrie der gymnasialen Oberstufe und elementaren Ideen der linearen Algebra

• Reconstructing 3D-points from camera pictures : a practice-guided learning environment in-between analytical geometry at upper secondary level and elementary ideas of linear algebra

Offergeld, Andrea; Krieg, Aloys (Thesis advisor); Walcher, Sebastian (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2015)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Kurzfassung

Das Anwendungsthema 3D-Rekonstruktion, welches sich auf grundlegende Begriffe der analytischen Geometrie und linearen Algebra der gymnasialen Oberstufe aufbauen lässt, eröffnet für den Mathematikunterricht eine ungewohnte und konzeptionell anspruchsvolle Perspektive auf das geometrische Verhältnis fotografischer Abbilder zu ihrem Original und zueinander. Obwohl Projektionen des Raumes auf die Ebene keine injektiven Abbildungen sind, möchte man mithilfe von Messungen aus einem oder mehreren Bildern die Form und Lage eines Objektes im Raum rekonstruieren, oder die Positionen einer sich im Raum bewegenden Kamera. Hierbei handelt es sich um ein klassisches Problem aus dem Bereich der Computer Vision. So ist beispielsweise ein Roboter, der sich durch den Raum bewegt, zur Orientierung und Navigation auf Informationen über seine Umgebung angewiesen, die er aus Kamerabildern entnehmen kann. Die Wissenschaft hat hier in den letzten Jahrzehnten besonders "elegante" lineare Verfahren zur Rückgewinnung von 3D-Informationen hervorgebracht, die auf der Nutzung von Matrizen und linearen Abbildungen beruhen. Lineare Gleichungssysteme sind folglich ihr zentrales Rekonstruktionsinstrument, welche als fundamentales Prinzip das Problem auch für SchülerInnen zugänglich machen. Die Intention der Arbeit ist es, die Rekonstruktion von 3D-Punkten aus zwei Kamerabildern als substanziellen Anwendungskontext aus dem Bereich der Photogrammetrie und Computer Vision im Sinne des genetischen Prinzips didaktisch zu erschließen. Das konkrete Ziel ist die Entwicklung von authentischem Unterrichtsmaterial, welches an der Schnittstelle von Schule und Universität eingesetzt werden kann. AdressatInnen dieser Lerneinheit sind einerseits SchülerInnen der gymnasialen Oberstufe mit grundlegenden Kenntnissen im Bereich der analytischen Geometrie, die überdurchschnittlich mathematisch interessiert sind, und andererseits MINT-StudentInnen der Anfangssemester, die nach einem anwendungsorientierten Zugang zu elementaren Ideen der linearen Algebra suchen. Die Aufbereitung erfolgt in Form eines Leitprogramms und umfasst neben zahlreichen illustrierenden, dynamischen GeoGebra-3D-Applets die Entwicklung einiger MATLAB-Tools, die den SchülerInnen die Durchführung eines eigenen kleinen Rekonstruktionsprojektes unter Verwendung echter Fotografien am Computer ermöglicht. Das Leitprogramm eignet sich einerseits direkt als fertiges Produkt zum eigenverantwortlichen Selbststudium. Andererseits soll es als strukturierte Grundlage für eine freiere Gestaltung des Themas durch LehrerInnen im Rahmen von Projektunterricht oder Workshops dienen. Die zentralen praktischen Arbeitsphasen werden deshalb durch Arbeitsblätter angeleitet, die sich auch ohne das Leitprogramm einsetzen lassen. Die echte Praxisanwendung ist hierbei einerseits Anlass wie auch andererseits ständiger Reflektionsgegenstand des durch das Leitprogramm initiierten Mathematisierungsprozesses. Es werden hierbei grundlegende Ideen, Methoden und Konzepte der linearen Algebra entwickelt, die in jedem MINT-Fachgebiet eingesetzt werden, und in dieser Hinsicht generalisierbar sind. Diese Ideen werden ferner aus einem klaren Anlass heraus am konkreten Gegenstand entwickelt, und ihre Tragfähigkeit und Nützlichkeit erweisen sich im praktischen Gebrauch. Dies soll insbesondere SchülerInnen ansprechen, die sich für ein natur- oder ingenieurwissenschaftliches Studium interessieren und sich deshalb einen eigenen Einblick verschaffen wollen, welche Art von und welcher Blick auf Mathematik im Studium eine zentrale Rolle spielen. Teile des entwickelten Materials wurden im Rahmen eines Workshops der MINT-Schüleruniversität der RWTH Aachen im Sommer 2014 erprobt, bei dem SchülerInnen ab der Jahrgangsstufe 10 teilnahmen.

Einrichtungen

• Lehrstuhl A für Mathematik [114110]
• Fachgruppe Mathematik [110000]