Endomorphismenringe von Permutationsmoduln auf den Nebenklassen einer p-Sylowgruppe

Naehrig, Natalie (Author); Hiß, Gerhard (Thesis advisor)

Aachen / Publikationsserver der RWTH Aachen University (2008) [Doktorarbeit]

Seite(n): IX, 278 S.

Kurzfassung

J. L. Alperin hat im Zusammenhang mit seiner Gewichtsvermutung vorgeschlagen, Endomorphismenringe von Permutationsmoduln von Gruppen auf den Nebenklassen nach ihren p-Sylowgruppen zu untersuchen. Diese Arbeit liefert einen Beitrag zu diesem Ansatz. Zunächst werden wichtige Elemente der gewöhnlichen und modularen Darstellungstheorie solcher Endomorphismenringe analysiert und mit den korrespondierenden Strukturen der zugrunde liegenden Gruppenalgebra verglichen. Dadurch können Kriterien für projektive Einfachheit nach Reduktion modulo einer Primzahl p für gewöhnliche Charaktere der Endormorphismenringe hergeleitet werden, die - ähnlich wie bei Gruppenalgebren - die gewöhnliche Charaktertafel benutzen. Im zweiten Teil der Arbeit spezialisieren wir die Betrachtungen auf Alperins Gewichtsvermutung und diskutieren eine äquivalente Umformung davon in dem Fall, dass der Endomorphismenring quasi-Frobenius ist. Es gelingt in diesem Fall unter zusätzlichen Voraussetzungen an die relevanten Vertizes und deren Normalisatoren, Alperins Gewichtsvermutung nachzuweisen. Schließlich werden die rechnerischen Untersuchungen und deren Ergebnisse diskutiert. Die Vielzahl der untersuchten Beispiele ermöglicht eine Beobachtung, die die Äquivalenzklassen der Gewichte und die Isomorphieklassen der einfachen Moduln einer Gruppenalgebra mittels der Isomorphieklassen der einfachen Sockelkonstituenten des Endomorphismenrings als regulärer Modul in Beziehung setzt. So ist mit einer Ausnahme (M11 modulo 3) in allen analysierten Beispielen die Anzahl der Isomorphieklassen solcher einfachen Sockelkonstituenten einerseits gleich der Anzahl der Isomorphieklassen einfacher Moduln des Gruppenrings und andererseits gleich der Anzahl der Äquivalenzklassen der Gewichte des entsprechenden Gruppenrings. Dadurch eröffnet sich möglicherweise ein neuer Weg zum Beweis von Alperins Gewichtsvermutung für eine Klasse von Gruppen, zu der M11 in Charakteristik 3 nicht gehört. Im letzten Teil der Arbeit findet sich eine tabellarische Auflistung der untersuchten algebraischen Strukturen aller berechneten Beispiele. Zu diesen Strukturen gehören die gewöhnliche Charaktertafel, falls die Größe des Beispiels deren Berechnung erlaubte, Cartan- und Zerlegungsmatrizen der Endomorphismenringe, Berechnung der Sockel- und Kopfkonstituenten und Bestimmung der Green-Korrespondenten der Gewichtsmoduln.

Identifikationsnummern

  • URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-25579
  • REPORT NUMBER: RWTH-CONV-112884