Quasistationarität und fast-invariante Mengen gewöhnlicher Differentialgleichungen

  • Photorespiration in Arabidopsis thaliana

Nöthen, Anna Lena; Walcher, Sebastian (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2008, 2009)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008

Kurzfassung

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, den biochemisch motivierten Begriff der Quasistationarität mathematisch zu fassen und zu untersuchen. In Kapitel 1 wird der Begriff der Quasistationarität im Zusammenhang mit chemischen Reaktionen vorgestellt und an Beispielen, insbesondere der Michaelis-Menten-Reaktion, erläutert. Es wird ein erster Überblick gegeben, welche Ansätze zur mathematischen Analyse gegebener Differentialgleichungssysteme chemischer Reaktionen für diese Arbeit relevant sind. Kapitel 2 stellt Ansätze der singulären Störungstheorie, insbesondere das Theorem von Tikhonov, vor. Ist ein Differentialgleichungssystem von spezieller Gestalt gegeben, das von einem kleinen Parameter abhängt, so liefert Tikhonovs Theorem (asymptotisch) eine Reduktion auf kleinere Dimension. Eine Vertiefung und Erweiterung dieser Aussage wird von Fenichel geliefert. Die Anwendung der Theorien ist für chemische Systeme nicht unproblematisch, da eben diese selten in der gewünschten speziellen Gestalt gegeben sind und zusätzlich der kleine Parameter chemisch motiviert sein sollte. Es folgt die Vorstellung der iterativen Methode nach Fraser und Roussel, welche eine invariante Mannigfaltigkeit approximiert, auf die die Differentialgleichung reduziert werden kann. Das Ausgangssystem stimmt mit der Standardform der singulären Störungstheorie überein. Das Kapitel schließt mit den Methoden von Heinrich und Schauer (bzw. Stiefenhofer), welche bei Einteilung einer Reaktion in langsame und schnelle Teilreaktionen eine Transformation des Differentialgleichungssystem ausführen, um anschließend die Reduktion nach Tikhonov zu erhalten. Keine der vorgestellten Methoden ist besonders geeignet für eine systematische Behandlung der Quasistationarität. In Kapitel 3 wird der chemische Begriff der Quasistationarität mit dem der Fast-Invarianz verknüpft. Wir erhalten eine systematische Methode, die, ausgehend von einer biochemisch motivierten Vermutung, lokal notwendige Parameterkonstellationen für quasistationäres Verhalten ermittelt und so "kleine Parameter" bestimmt. Diese Bedingungen erhalten wir mittels einer fast-invarianten Menge. Es werden außerdem verschiedene Reduktionsmöglichkeiten vorgestellt, welche über die Quasistationarität motiviert sind. Die iterative Methode des Kapitels 2 wird aus Sicht der Fast-Invarianz noch einmal aufgegriffen. Kapitel 4 untersucht das Langzeitverhalten der Lösungen. Wenn wir chemische Reaktionen untersuchen, stellt sich in sehr vielen Fällen im Grenzwert ein dynamisches Gleichgewicht ein, das sich mathematisch durch einen stationären Punkt im Differentialgleichungssystem widerspiegelt. Es wird gezeigt, dass das Langzeitverhalten im asymptotisch stabilen stationären Punkt einzig von der linearisierten Form bestimmt wird. Exemplarisch wird untersucht, ob das Langzeitverhalten zur fast-invarianten Menge aus Kapitel 3 passt. Schließlich wird in Kapitel 5 gezeigt, wie die Theorie von Tikhonov und Fenichel für chemische Reaktionssysteme mit Quasistationaritäts-Annahme angewendet werden kann. Wir benötigen einen kleinen Parameter, der etwa mit Hilfe der fast-invarianten Mengen aus Kapitel 3 bestimmt wird. Es wird gezeigt, wie eine Transformation aussehen muss, um ein aus dem Reaktionssystem gegebenes System in der Standardform der singulären Störungstheorie zu erhalten. Die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit von Tikhonov und Fenichel können geprüft und ggf. ein reduziertes System bestimmt werden. Die Motivation des Vorgehens ist der Betrachtungsweise von Heinrich und Schauer aus Kapitel 2 entnommen. Die Formulierung hier ist jedoch allgemeiner und der Anwendungsbereich größer, insbesondere ist die Ausweitung auf quasistationäres Verhalten enthalten. Mit diesem Ansatz werden die lokalen Aussagen aus Kapitel 3 zu globalen Aussagen. Einige Beispiele illustrieren den systematischen Ansatz.

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